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StinkeBär

Zufall / Chaos / fraktale Geometrie / Global Scaling

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StinkeBär
Posted

Hallo Leute,

 

da der "Zufall" dem Börsianer ein großer Widersacher ist und im Risiko seinen Niederschlag findet, dürften ein paar Erkenntnisse zum Thema nicht schaden.

 

Einstein schrieb in einem auf den 4. Dezember 1926 datierten Brief:

„Die Quantenmechanik ist sehr achtunggebietend. Aber eine innere Stimme sagt mir, daß das noch nicht der wahre Jakob ist. Die Theorie liefert viel, aber dem Geheimnis des Alten bringt sie uns kaum näher. Jedenfalls bin ich überzeugt, daß der nicht würfelt.

 

Global Scaling und die Entwicklung des Zeitbegriffs - Dr. Hartmut Müller

 

Im oben genannten Video gibt es zum Ende hin einige Hinweise, dass der Zufall doch nicht so zufällig ist.

 

Mit prozeduralen Algorithmen lassen sich heute schon schöne Welten oder Galaxien in der Computerspielbranche erzeugen.

Vielleicht kann man ja irgendwann den Schöpfungscode für die Matrix entschlüsseln. B-)

 

Da wir heute mit recht einfachen Funktionen bereits chaotisches Verhalten erzeugen können, spricht viel dafür, dass dem Ganzen eine Weltformel oder ein fraktaler Algorithmus zugrunde liegen könnte. Leider kann man aus beobachteten chaotischen Verhalten nicht wieder auf die recht einfachen Funktionen schließen und diese rekonstruieren.

Meiner Meinung nach könnte Einstein durchaus einmal recht bekommen.

Zum Beispiel können im Prinzip bereits verstandene Sachen (Pendel) durch anhängen eines Zweiten extrem komplex und kaum noch nachvollziehbar werden, was man so intuitiv gar nicht vermuten würde.

 

Den Gedanke, dass Zufall nicht rein zufällig sein könnte, finde ich jedenfalls faszinierend.

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Schildkröte
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Ob es eine Weltformel gibt und ob man Zufall mit Schicksal bzw. höherer Fügung gleichsetzen kann, ist wohl eher eine philosophische, vielleicht auch religiöse Frage. Was leitest Du daraus für Analysen und Handelsstrategien ab? Darum geht es in diesem Subforum schließlich. Anleger müssen bei ihren Anlageentscheidungen immer mit unerwarteten Zufällen rechnen. Je nachdem, ob diese positiv oder negativ zu bewerten sind, kann man dann von Glück oder Pech sprechen.

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Akaman
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Da wir heute mit recht einfachen Funktionen bereits chaotisches Verhalten erzeugen können, spricht viel dafür, dass dem Ganzen eine Weltformel oder ein fraktaler Algorithmus zugrunde liegen könnte.

Was spricht dafür und warum?

 

Was spricht dagegen und warum?

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amontecc
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möglicherweise sind kleinste Ereignisse nicht zufällig, aber bei sehr vielen Kleinst-Ereignissen die Auswirkung in ihrer Summe nicht mehr Vorhersehbar, und damit für den Betrachter Zufall.

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ZappBrannigan
Posted · Edited by ZappBrannigan

Den Gedanke, dass Zufall nicht rein zufällig sein könnte, finde ich jedenfalls faszinierend.

Bei der Diskussion kommst du ungefähr 90 Jahre zu spät. Die lange Zeit verbreitete deterministische Weltsicht ist zumindest unter Physikern seit den 20er Jahren tot und Einstein lag hier mit seinem berühmten Zitat einfach einmal daneben. Die stochastische Interpretation der Quantenmechanik hat sich durchgesetzt: Die Wellenfunktion beschreibt eine auf dem reinen Zufall basierende Wahrscheinlichkeitsverteilung und damit sind Prozesse wie das Durchtunneln einer Barriere bzw. der Zerfall eines Atomkerns eben wirklich rein zufällige Prozesse.

 

Einstein hat tatsächlich bis zu seinem Lebensende versucht die QM durch die Einführung verborgener Variablen deterministisch zu machen - es ist ihm aber nicht gelungen. Jetzt darüber zu spekulieren ob es doch noch verborgene Variablen gibt ist angesichts fehlender Hinweise keine Naturwissenschaft, sondern reine Spekulation.

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StinkeBär
Posted · Edited by StinkeBär

@ZappBrannigan und Akaman

Ab Minute 56 wird im Ergebnis der über Jahrzehnte geführten Versuche festgestellt, dass es eine Feinstruktur gibt, die orts- und zeitabhängig ist und die nicht im Widerspruch der statistischen Verteilung steht. In der Auswertung konnte in der Struktur eine fraktale Ähnlichkeitsdimension nachgewiesen werden.

 

 

@amontecc

Sollte man meinen, aber das Global Scaling findet sich in Großstrukturen wieder.

Wenn die fundamentalen (kleinsten) Grundfraktale miteinander verwunden und verwoben werden, entsteht anscheinend ein komplexer fraktaler Prozess der erstaunlicherweise ähnliche Strukturen ausprägen kann.

Ich glaube schon ab 3 Teilchen kann man Bewegungen nur noch nummerisch lösen, es wirkt bei sehr vielen Teilchen alles chaotisch, aber ist es das auch oder ist es nur zu komplex für uns.

Der philosophische Ansatz "wie im kleinen so im großen" scheint partiell anwendbar, zumindest ist Global Scaling vielfach in der Natur und bei hochtechnischen Prozessen entdeckt worden.

 

@Schildkröte

Im Rahmen der Zeitreihenanalyse ist es möglich diesen Chart in viele Teile (polynominale, periodische, saisonale) zu zerlegen. Am Ende der Filterung blieb das Rauschen. Diesen kann man nun auch noch um harmonische Anteile bereinigen, so dass echter Zufall oder Chaos übrig bleibt.

Bringt bisher nur etwas für die Risikoanalyse/-einschätzung, momentan aber noch nicht für die Vorhersage.

Ich hatte mich in letzter Zeit viel mit dem Approximieren von Zeitreihen beschäftigt, da gibt es mächtige Methoden, die dann die Vergangenheit in beliebiger Genauigkeit verstehen (Overfitting). Das Problem ist die Güte der Exploration in die Zukunft.

Eine Handelsstrategie kann ich nicht ableiten, aber vielleicht die gut bezahlten Physiker, die die Handelsroboter für die Investmentbanken und Hedgefonds programmieren, vermutlich aber auch nicht die.

 

Am Ende ist das Ergebnis, das Zufallsprozesse nicht rein zufällig sein könnten, sondern von Dingen(bspw. Ort, Zeit) abhängen und fraktaler Art sein könnten ziemlich erstaunlich (ohne das Statistik dabei ausgehebelt wird).

 

In einem anderen Video wird eine Art Informationsaustausch über das Rauschen experimentell nachgewiesen und das ohne das die Computer miteinander verbunden waren(Quantenverschränkung).

Das mutet wirklich unmöglich an, keine Ahnung wie das gehen soll, ich hege da starke Zweifel an der Seriosität.

 

Ob Zufall zufällig ist oder einem geheimen Code folgt, behält der Alte wahrscheinlich ewig wegen der Unschärferelation geheim. :P

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StinkeBär
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Darum geht es in diesem Subforum schließlich.

 

Die Fibonacci-Folge ist von den Phänomen des Global Scaling umfasst und das findet bereits heute im Rahmen der Elliott-Wellen-Theorie und bei einigen Chartanalysen Anwendung (kenne mich dort nicht aus), so dass es zumindest das Subforum partiell schon tangiert.

Ob es thematisch verschoben werden muss, kann man trefflich streiten, mir ist es im Prinzip völlig egal, wo das Thema platziert wird. Die Mods haben da freie Hand.

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Schildkröte
Posted · Edited by Schildkröte

Anhand der Fibonacci-Formel lässt sich unter anderem z. B. das Paarungsverhalten von Karnickeln mathematisch beschreiben. Wenn Du Dich schon mit Zahlenreihen auseinander setzt, solltest Du Dich mit

 

- der Statistik,

- der Stochastik,

- der Spieltheorie und

- der Chaostheorie

 

für finanz- und wirtschaftsmathematische Überlegungen bzw. Ansätze näher beschäftigen. Inwieweit jetzt auch noch physikalische Ansätze relevant sind, erschließt sich mir bei Wirtschaft und Geld nicht so recht. Das würde doch höchstens bei

 

- Versicherungen (Naturkatastrophen),

- Energieunternehmen (Energie ist eine physikalische Größe) und

- Technologieunternehmen (angewandte Physik)

 

Sinn ergeben. Vielleicht könntest Du Schinzilord mal zu Rate ziehen. Mit den Elliot-Wellen hat sich übrigens auch mal der selbsternannte Börsenguru Robert Precht sehr weit aus dem Fenster gelehnt.

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Nord
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Bei der Diskussion kommst du ungefähr 90 Jahre zu spät. Die lange Zeit verbreitete deterministische Weltsicht ist zumindest unter Physikern seit den 20er Jahren tot und Einstein lag hier mit seinem berühmten Zitat einfach einmal daneben. Die stochastische Interpretation der Quantenmechanik hat sich durchgesetzt: Die Wellenfunktion beschreibt eine auf dem reinen Zufall basierende Wahrscheinlichkeitsverteilung und damit sind Prozesse wie das Durchtunneln einer Barriere bzw. der Zerfall eines Atomkerns eben wirklich rein zufällige Prozesse.

Der Vollständigkeit halber sei zumindest erwähnt, dass noch rund 5%-10% aller Physiker mit Bezug zu diesem Themenfeld der Viele-Welten-Theorie anhängen, welche genauso wie die Kopenhagener Deutung weder als einzig gültige bewiesen noch widerlegt werden kann.

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helios
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Im Forum sind sehr viele *Kopfmenschen* - denen zu widersprechen macht wenig Sinn - zuhören... ähh... lesen und seinen Teil denken ist die richtige Strategie und um mal auf die Finanzmärkte zurück zu kommen: ich würd einen "Zehner" auf Albert setzen, den die Frage ist: wer ist der *Alte*?.

Damit mach ich mich zwar lächerlich, weil Albert bereits verstorben ist - oder hat er es geschafft und switcht in den diversen Ebenen umeinander???

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dan92
Posted · Edited by dan92

An der Börse gibt es keinen Zufall und wenn dann nur in seltenen Ausnahmefällen, das hängt damit zusammen dass die meisten Marktteilnehmer voreingenommen sind und sich Trends im Kursverlauf ergeben, welche sich in aller Regel über längere Zeit hinziehen. Der kürzeste Trend im Dax von 1991 bis jetzt betrug ein Jahr! Dass die Kursverläufe fraktal sind lässt sich nicht ändern, hat aber nix mit Zufall zu tun. Jedem, der das nicht kapiert, dem empfehle ich die Alchemie der Finanzen von George Soros zu lesen, hat mir weitergeholfen das zu verstehen. Edit: Und übrigens bedarf es keiner komplizierten Mathematik an den Finanzmärkten. Der erfolgreichste Spekulant vor unserer Zeit, Jesse Livermore, war gerade mal gut in Algebra in der Schule und hat danach keine weiterführende Schule besucht. Dieses Wissen allein reichte ihm um in heutigem Wert umgerechnet Milliardensummen zu verdienen. Viel wichtiger aber, wie er im Laufe seiner Karriere bemerkte, waren psychologische Faktoren, welche die Kurse bestimmen. Wer's nicht glaubt, selber Schuld!

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Suvorov
Posted

Servus Leute!) 

 

Ich mochte nur eins sagen:

Wenn wir in unseren sozioökonomischen Tätigkeiten Ordnung und Gesetzmäßigkeit sehen, dann müssten auch die Statistiken (allgemein), Ordnung und Gesetzmäßigkeit widerspiegeln. 

 

 

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Cai Shen
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vor einer Stunde von Suvorov:

Wenn wir in unseren sozioökonomischen Tätigkeiten Ordnung und Gesetzmäßigkeit sehen, dann müssten auch die Statistiken (allgemein), Ordnung und Gesetzmäßigkeit widerspiegeln. 

 

Und an diesem Satz hast du 5 Jahre gefeilt? 

Respekt! 

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Suvorov
Posted
Am 20.12.2014 um 20:45 von Akaman:

Was spricht dafür und warum?

 

Was spricht dagegen und warum?

Ich bin kein Verfechter der Chaostheorie (Zufälle). Würde aber die noch offenstehende Frage auf meine Weise beantworten.)

 

Was spricht dafür und warum?

Alles Lebende strebt nach Harmonie, auch die Finanzmärkte – während dem die Finanzmärkte grafische Formationen bilden, streben sie ebenfalls die richtigen Formen an. Die Fibonacci Folge ist für uns umgebende Welt etwas Natürliches und

die Finanzmärkte sind ein Teil dessen. Wie allgemein bekannt ist, charakterisiert der „Koeffizient des Goldenen Schnittes“ den harmonischen Aufbau der uns umgebenden Welt. Dabei stellt die „Fibonacci-Folge“ eine Art Universalsprache dar, für

eine mathematische Beschreibung der natürlichen Prozesse. Es bedeutet nicht, dass man die ganze Welt in eine große Formel umwandeln kann, jedoch ist es eine recht einfache Methode für die Einschätzung der Prozesse auf einem niedrigen Niveau.

Dabei hilft auch die Tatsache, dass praktisch die ganzen Informationen über den Markt in einer grafischen (zweidimensionalen) Darstellung abgebildet werden.

 

Was Spricht dagegen, dem natürlichen Gesetz folgen zu wollen?

Was spricht also dagegen, wenn wir unsere sozioökonomischen Tätigkeiten von der Seite (rückwirkend) betrachten und uns in diesen Statistiken wiederfinden? 

Was Spricht dagegen, wenn wir unsere Prozesse, welche sich in den Statistiken niederlegen, besser verstehen und sogar versuchen nachhaltiger und Harmonie-voller mitzugestalten? Die Prozesse werden ja so oder so erzeugt...

Was Spricht dagegen, würden wir in den Statistiken (Histogrammen) allgemein, nur Ordnung und Gesetzmäßigkeit sehen?

Was spricht dagegen, würden wir ein universelles Model-Risk-Management besitzen? Und dadurch jeder Mensch die Möglichkeit erhält, an seiner erbrachten Leistung,  z.B in der Produktion, sich gleichberechtigt fühlend mitspekulieren.

 

Was spricht dagegen und warum?

Sollen schon die Verfechter der Chaostheorie (Zufälle) beantworten.;):)

 

 

 

 

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Suvorov
Posted
vor 12 Minuten von Cai Shen:

Und an diesem Satz hast du 5 Jahre gefeilt? 

Respekt! 

In mir sprach die Praxis.;) Es ist keine Annahme, sondern Tatsache (hinsichtlich der Ordnung).

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Covacoro
Posted

Der Themenstarter könnte ja mal bei Mandelbrot nachlesen, was er dazu gesagt hat, sein Buch "Fraktale und Finanzen".

Oder er liest meine Zusammenfassung des Buches und zieht seine Schlussfolgerungen mit Zeitersparnis daraus.

 

https://www.covacoro.de/2016/08/03/buchreview-fraktale-und-finanzen-teil-1/

https://www.covacoro.de/2016/08/12/buchreview-fraktale-und-finanzen-teil-2/

 

Covacoro

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Suvorov
Posted

Hallo Covacoro,

 

sehr interessant! Werde Ihre Zusammenfassung ebenfalls durchlesen. 

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Suvorov
Posted · Edited by Suvorov

 

Eins kann ich Ihnen aber jetzt schon sagen, es wäre für mich eine Freude, sich mit Ihnen via Stimme unterhalten zu dürfen.

 

Zitat

Die Bedeutung des Buches liegt meiner Meinung nach - stark verkürzt - darin, dass es die prinzipielle Hypothese formuliert, dass ein gutes Modell die Wirklichkeit zwar vereinfachen und verallgemeinern darf, aber vor allem dann, wenn es kritisch wird, funktionieren muss!

Ganz genau!) Die heutigen stochastischen Modelle schweben im Kosmos - sie erkennen die Grenzwerte nicht.

Ich denke, dass die heutigen Modelle zwar den Dotter und das Eiweiß besitzen - jedoch wurden diese zwei Komponenten mittels einem Mixer (200-jährige stochastische Forschung) zum Schaum gerührt und besaßen niemals die Schale dazu (Grenzwerte).

 

Die Entwicklung der Einsichten hinsichtlich den Finanzindexen hat sich sehr merkwürdig entwickelt - einer Anekdote ähnlich...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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reko
Posted · Edited by reko
Am 23.1.2021 um 20:59 von Covacoro:

Der Themenstarter könnte ja mal bei Mandelbrot nachlesen, was er dazu gesagt hat, sein Buch "Fraktale und Finanzen".

Mandelbrots These wird seit langer Zeit intensiv genutzt. Selbstähnlichkeit ist die Voraussetzung für intuitive Handelserfahrungen und technische Analysen z.B. Elliot Wellen. Die Vorzüge gegenüber einer Theorie mit vielen kleinen, unabhängigen und zufälligen Einflüssen sind offensichtlich. Aber mit den klassischen Theorien kann man leicht rechnen. Man muß nur selbst wissen wo die Grenzen dieser stark vereinfachenden Schönwetter-Theorien liegen.

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Suvorov
Posted · Edited by Suvorov

 

Hallo reko,

 

Kritik ohne Lösungsvorschläge – ist das zweite Problem der 200-jährigen Finanzmarktforschung.

 

Zitat

Mandelbrots These wird seit langer Zeit intensiv genutzt.

Sie haben recht, auf Basis seiner These wurden mehrere stochastische Volatilitätsmodelle entwickelt.

Diese Modelle sind anscheinend sehr effizient.

 

Die Sache ist die – ich besitze ebenfalls ein Modell, welches dank einer hilfsbereiten Wissenschaftlerin ausgewertet wurde.

Das Resultat meiner Prognosestudie wurde mit einem Multifractal Model verglichen. Meine Ergebnisse waren 2 bis 3-mal schlechter ausgefallen...

 

In dieser Prognosestudie wurde die Volatilität berechnet, dieses Verfahren entsprach aber nicht meinem Modell.

Aus diesem Grund auch, kann ich mich mit diesem Ergebnis nicht zufriedengeben.

 

Zitat:
“Our methods and findings relate to other contributions. Barndorff-Nielsen and
Shephard (2002) have originally studied the use of realized volatility in estimating
stochastic volatility models. Examples of joint models of returns and realized
volatility outside the SV methodology are the HEAVY model of Shephard and
Sheppard (2010) and the Realized GARCH model of Hansen, Huang, and Shek
(2011). Andersen, Bollerslev, and Meddahi (2011), Ghysels and Sinko (2011), Asai,
McAleer, and Medeiros (2012a; 2012b) consider the impact of measurement noise in
forecasting realized volatility. Bollerslev et al. (2009) have proposed a joint model
for realized volatility, returns and jumps that does not include a measurement
equation. Andersen et al. (2003), Andersen, Bollerslev, and Diebold (2007), Corsi
(2009), and Hillebrand and Medeiros (2010), among others, suggest reduced form
approaches for modeling and forecasting realized volatility. Another strand of
literature is concerned with the estimation of parameters in continuous time
stochastic volatility models using high-frequency data. Bollerslev and Zhou (2002),
Corradi and Distaso (2006), and Todorov (2009) consider moment-based estimation
for parametric and semi-parametric specifications, while Bandi and Renò (2008)
adopt a nonparametric approach.“
  (KOOPMAN & SCHARTH 2013)

 

 

Zitat

Selbstähnlichkeit ist die Voraussetzung für intuitive Handelserfahrungen und technische Analysen z.B. Elliot Wellen

 

Gut, aber diese Selbstähnlichkeit sieht bei Mandelbrot anders aus, als bei den technischen (grafischen) Analysten (Elliott). Wer hat nun recht?

 

Zitate (Schmidt 1976):

 

 

21.thumb.png.d0d4cb1402c361047e7ceff603909765.png

23.thumb.png.f831c8df4133cf5e5e11f17622ec6f3b.png

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Suvorov
Posted · Edited by Suvorov

Die Kurshöhen erzeugen die Volatilität.

Demnach wären die Kurshöhen erklärungsbedürftig und nicht die Volatilität.

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reko
Posted
vor 14 Minuten von Suvorov:

Gut, aber diese Selbstähnlichkeit sieht bei Mandelbrot anders aus als die der technischen (grafischen) Analysten (Elliott). Wer hat nun recht?

Das will/kann ich nicht beurteilen. Ich bin weder Anhänger der technischen Analyse noch kenne ich die Details von Mandelbrot. Entscheidend ist, dass beides den klassischen Theorien mit Normalverteilungen widerspricht.

Ich interessiere mich für die langfristigen Gewinn/Cashflow-Erwartungen der Unternehmen, die bestimmen den langfristigen Kurs, werden aber bei diesen Finanzmarkthypothesen verständlicherweise immer ausgeblendet.

 

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Suvorov
Posted · Edited by Suvorov
vor 14 Minuten von reko:

Ich bin weder Anhänger der technischen Analyse noch kenne ich die Details vonch interessiere mich für die langfristigen Gewinn/Cashflow-Erwartungen der Unternehmen, die bestimmen den langfristigen Kurs... 

 

Von welchen Wunsch-Horizonten ist dann die Rede? Welche Erwartungswerte streben Sie an? 

 

Denn bekannter Weise wachsen auch an der Börse die Bäume nicht bis zum Himmel. 

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reko
Posted · Edited by reko
vor 2 Stunden von Suvorov:

Von welchen Wunsch-Horizonten ist dann die Rede? Welche Erwartungswerte streben Sie an? 

 

Denn bekannter Weise wachsen auch an der Börse die Bäume nicht bis zum Himmel. 

 

Erwartungswert über mindestens einen Zyklus (oft 5 .. 10 Jahre) ist ein Branchen übliches Vielfaches der prognostizierten jährlichen Owner Earnings. Wie kann man von einer Theorie Vorhersagen erwarten, wenn der langfristig dominierende Faktor vernachlässigt wird? Das funktioniert nur wenn der Prognosezeitraum extrem kurz ist z.B. beim High Frequency Trading. Jede neue Nachricht (z.B. Pandemie) führt zu einer Neubewertung mit möglichen Kurssprüngen. Das kann weder mit einer Normalverteilung noch mit Selbstähnlichkeit erklärt werden. Der Kurs meiner besten Aktie (Capstone Mining) hat sich aus fundamentalen Gründen im letzten Jahr verzehnfacht.

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Suvorov
Posted · Edited by Suvorov
Zitat

Erwartungswert über mindestens einen Zyklus (oft 5 .. 10 Jahre) ist ein Branchen übliches Vielfaches der prognostizierten jährlichen Owner Earnings. 

 

Und wann fängt ein Zyklus an? Sobald eine Branche an der Börse gelistet wird? Oder nach jeder Krise?  

Wenn wir zum Beispiel über den DAX reden - würden Sie ihm seinen letzten Zyklusbeginn zeigen können?

 

Auch die Zyklen besitzen ihre vorbestimmten Kurshöhen. So kann und ist schon mehrmals vorgekommen, dass der Index deutlich weniger Zeit brauchte, um diese Kurshöhe (Extremwert) zu erreichen. 

 

 

Zitat

Wie kann man von einer Theorie Vorhersagen erwarten, wenn der langfristig dominierende Faktor vernachlässigt wird? 

Langfristige dominierende Faktoren (Kurshöhen) werden nahezu immer rechtzeitig eingepreist. Je größer das Zeitfenster, je rechtzeitiger die Einpreisung.

Wenn wir als Beispiel den Tageschart nähmen, so wäre die Rede von mehreren Jahren. Zu wenig Zeit?

 

Zitat

Das funktioniert nur wenn der Prognosezeitraum extrem kurz ist z.B. beim High Frequency Trading

 

Meine Meinung kennen Sie bereits. Die Fragen „Wann?/Wo?“ sind weniger wichtiger als die Fragen „Wohin?/Welche?“

Weil aber die allgemeine Meinung herrscht: „keiner kann wissen wohin der Kurs geht“ – erklärt sich alles wie von selbst.

 

Mit den Fragen „Wann?/Wo?“ meinte ich die Volatilität.

 

Solange die Umgebung, in welcher sich Indexe aufhalten, unbekannt ist, solange braucht man sich auch die Fragen „Wann?/Wo?“ nicht zu stellen.

 

Schon etwas seltsam... So auf die Art: Ich weiß nicht, wo ich stehe, möchte jedoch wissen, wo ich mich morgen oder in einem Jahr befinden werde...

 

Zitat

Jede neue Nachricht (z.B. Pandemie) führt zu einer Neubewertung mit möglichen Kurssprüngen.

Die fundamentalen Nachrichten erzeugen keine neuen Dimensionen für Indexe, sondern nutzen die schon längst eingepreisten Informationen (Dimensionen).

 

Zitat

Das kann weder mit einer Normalverteilung noch mit Selbstähnlichkeit erklärt werden.

 

Tja, das ist Ihre parteilose Meinung;)

 

 

 

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