Life-cycle Investing and Leverage: Buying Stock on Margin

[Glory_Days]

Bitte noch die reale Größen betrachten, da wir für die Vergleichbarkeit von W(t) zu allen Zeitpunkten t reale Größen betrachten müssen.

Am 18.7.2023 um 12:09 von indianahorst:

Mit dem Wert der Risikoaversion bin ich noch nicht weitergekommen, aber ich habe mal ein paar Werte für weltweit investierende (europäische) Anleger herausgesucht:

µ (erwartete arithmetische Rendite) = 10.65%, historische Rendite des MSCI World seit 1978, Quelle https://curvo.eu/backtest/portfolio/msci-world--NoIgsgygwgkgBAdQPYCcA2ATEAaYoAyAqgIwDsAHMQKwAsxZAnDsQLptA

r (risikofreier Zins) = 2.41%, historischer Durchschnitt 10y Eurozone Staatsanleihen seit 2004, Quelle https://ycharts.com/indicators/10year_eurozone_central_government_bond_par_yield_curve

σ (erwartete Standardabweichung) = 14.94% beim MSCI World seit 1978, Quelle https://curvo.eu/backtest/portfolio/msci-world--NoIgsgygwgkgBAdQPYCcA2ATEAaYoAyAqgIwDsAHMQKwAsxZAnDsQLptA

 

Angenommen für die relative Risikoaversion wird der obige Wert 4 veranschlagt, dann ergibt sich mit diesen Werten aus obiger Gleichung der risikoreichen Anteil π ≈ 116%.

Und richtig rechnen:
π = (0,1065 - 0,0241) / (0,1494^2 * 4) ≈ 92,29% (Input-Werte wurden von mir nicht überprüft)

 

Mit US-Werten in USD (+ jährliche Inflationsraten) komme ich seit Auflage des MSCI World 1970 - 2022 auf:
µ (real) = 6,84%

r (real) = 0,39%

σ (real) = 17,57%

π = (0,0684 - 0,0039) / (0,1757^2 * 4) ≈ 52,23%

[indianahorst]

vor einer Stunde von Glory_Days:

Ich persönlich würde mich der Frage ganz anders nähern - und zwar mit der Beantwortung der Frage, wie viel Prozent meines Lebenseinkommens ich heute risikoreich investieren würde, wenn ich dieses heute bereits zur Verfügung hätte. Das ist primär eine Frage individuellen Risikopräferenz/-tragfähigkeit und eher sekundär eine Frage der zukünftigen Renditeeinschätzung.

 

Vielen Dank!

Dann stellt sich natürlich die Frage, welche Aufteilung Aktien/Anleihen zukünftig eine vernünftige Wahl wäre. Dazu habe ich diesen Artikel gefunden

https://www.investopedia.com/articles/personal-finance/121815/buffetts-9010-asset-allocation-sound.asp

in dem die Überlebensrate eines Aktien/Anleihen-Portfolios mit 4% jährlicher Entnahme für verschiedene Allokationen mit 30-Jahres-Zeiträumen seit dem Jahr 1900 untersucht wurde. Demzufolge hätte eine 60/40 Allokation eine Überlebenswahrscheinlichkeit von 100%, eine 70/30 Allokation  eine Überlebenswahrscheinlichkeit von 98,8% und eine 80/20 Allokation  eine Überlebenswahrscheinlichkeit von 97,7% gehabt.

 

 

vor 30 Minuten von Glory_Days:

Bitte noch die reale Größen betrachten (macht im Zähler keinen Unterschied, im Nenner aber schon), da wir für die Vergleichbarkeit von W(t) zu allen Zeitpunkten t reale Größen betrachten müssen.

Und richtig rechnen:
π = (0,1065 - 0,0241) / (0,1494^2 * 4) ≈ 92,29%

Hm, mein Taschenrechner sagt π = (10,65% - 2,41%) / (14,94%^2 * 4) ≈ 1,1641. Ich hätte angenommen dass die % intern umgerechnet werden, aber gut, wieder was gelernt

Ich werde es im obigen Post korrigieren.

[Glory_Days]

vor 7 Stunden von indianahorst:

Vielen Dank!

Dann stellt sich natürlich die Frage, welche Aufteilung Aktien/Anleihen zukünftig eine vernünftige Wahl gewesen wäre. Dazu habe ich diesen Artikel gefunden

https://www.investopedia.com/articles/personal-finance/121815/buffetts-9010-asset-allocation-sound.asp

in dem die Überlebensrate eines Aktien/Anleihen-Portfolios mit 4% jährlicher Entnahme für verschiedene Allokationen mit 30-Jahres-Zeiträumen seit dem Jahr 1900 untersucht wurde. Demzufolge hätte eine 60/40 Allokation eine Überlebenswahrscheinlichkeit von 100%, eine 70/30 Allokation  eine Überlebenswahrscheinlichkeit von 98,8% und eine 80/20 Allokation  eine Überlebenswahrscheinlichkeit von 97,7% gehabt.

Man sollte bedenken, dass der Effekt/Vorteil der Zeitdiversifikation (=Absenkung der Standardabweichung des Vermögensendwertes) historisch gesehen so hoch ausgefallen wäre, dass dieser selbst bei einem höheren mittleren risikoreichen Exposure (=höherem mittleren Vermögensendwert) gleichzeitig auch den Worst-Case gegenüber anderen zeitlichen Allokationen wie der Birthday-Rule oder einer konstanten Allokation verbessert hätte (was aufgrund des höheren mittleren Ausgangswertes vor Beginn der Entnahmephase die Überlebenswahrscheinlichkeit in der Entnahmephase massiv erhöht hätte):

             

Zitat

The benefits of leveraged investment under the 200/83 strategy are considerable. While Table 3.1 emphasized the higher expected mean, median, and minimum returns, it is useful to translate what these extra dollars really mean to people’s lives. The fact that the expected return for the leveraged strategy is almost double that of the birthday rule means that you could have nearly twice the money to spend during your retirement. Alternatively, it means that you could retire six years earlier and still have the same yearly stipend during retirement. Instead of retiring at sixty-seven, you’d have the freedom to kick back at sixty-one.*

You also have the option of saving less every year of your working life. Instead of saving an ambitious 7.5 percent of your income under the birthday rule, you could save a more realistic 4 percent of your income and still produce the same expected retirement accumulation.

If you regularly save 4 percent of your income and retire at sixty-seven, under the 200/83 strategy you should have enough to live on till you are 114. That’s right. If you take your expected retirement accumulation at age sixty-seven and invest it conservatively from then on (in government bonds), you’ll have enough to cover you for forty-seven years of retirement at the same level of real spending that the birthday rule can only support for twenty. Forty-seven years of coverage—that’s real security.

*Retiring a year earlier is expensive. Not only are you giving up another year of savings contributions, you start spending down the retirement funds a year earlier. Being able to afford
to retire six years earlier is a big deal.

Übrigens hätte eine höhere Zielallokation zumindest(!) historisch gesehen auch mind. den US Worst-Case verbessert, wenn man einmal die Zahlen von 200/83 zu 200/50 miteinander vergleicht:
 

[indianahorst]

vor 25 Minuten von Glory_Days:

r = 4,43%

 

 

Woher nimmst du diesen Zinssatz? Ist das ein US- oder EU-Zinssatz? Über welchen Zeitraum und für welches Asset?

[Glory_Days]

vor 1 Minute von indianahorst:

Woher nimmst du diesen Zinssatz? Ist das ein US- oder EU-Zinssatz? Über welchen Zeitraum und für welches Asset?

Die Quelle ist verlinkt - Spalte 3-month T.Bill, Zeitraum 1970 - 2022 (seit Auflage des MSCI Worlds).

[indianahorst]

vor 5 Minuten von Glory_Days:

Die Quelle ist verlinkt - Spalte 3-month T.Bill, Zeitraum 1970 - 2022 (seit Auflage des MSCI Worlds).

vor 36 Minuten von Glory_Days:

σ (real) = 18,15%

 

 

Ist da ein falscher Link gesetzt? Im verlinkten Artikel gehts um die US-Inflation, nicht um die Volatilität des MSCI World.

[Glory_Days]

vor 39 Minuten von indianahorst:

Ist da ein falscher Link gesetzt? Im verlinkten Artikel gehts um die US-Inflation, nicht um die Volatilität des MSCI World.

Nein, der Link ist richtig. Ich kann nur keine zwei URLs auf einmal hinterlegen. Die MSCI World Renditen findest du als Link des µ-Wertes. Die Volatilität der realen Renditen habe ich dann kurz selbst berechnet (dafür kenne ich keine Quelle).

Ich musste den Wert oben nochmal leicht anpassen, da sich die reale Rendite korrekterweise als Nominale Rendite / (1 + Inflationsrate) berechnet.

[Glory_Days]

Inspiriert von Markowitz Mean-Variance Analyse der Asset-Divesifikation wäre eine daran angelehnte Analyse für das volle Diversifikationsproblem, d.h. bezogen auf das True Total Wealth, sehr schön. Ausgangspunkt ist die multiplikative Berechnungsformel des risikoreichen Anteils des True Total Wealths, wobei die Renditen als stochastische Variablen angenommen werden:

Zitat

W(n) = W(0) * ∏(i=1 to n) (xi * Ri + (1 - xi) * Rfi)

Mit W(n) = True Total Wealth nach n Perioden, xi = Prozentualer risikoreicher Anteil am True Total Wealth, Ri = i-te Rendite des risikoreichen Anteils und Rfi = i-te Rendite des risikolosen Anteils

Unter der Annahme konstanter Gewichtungsfaktoren xi = x und einer Gleichgewichtsverteilung der Renditen kann ein einfacher Zusammenhang zwischen den Variationskoeffizienten des True Total Wealths und des Renditefaktors R_w hergeleitet werden:

Zitat

C(W(n)) = √Var(W(n)) / E[W(n)] = ((C(R_w)^2 + 1)^n - 1)^(1/2)

mit E[R_w] = x E[R] + (1 - x) E[Rf] und Var[R_w] = x^2 Var[R] + (1-x)^2 Var[Rf] + 2 x (1-x) Cov[R,Rf]

[Glory_Days]

Es ist ganz interessant, wenn man die Monte Carlo Simulation des Buches bei festgehaltenem Mittelwert aber unterschiedlicher Standardabweichung der Renditeverteilungsfunktion innerhalb der selben Allokationsregel miteinander vergleicht (=Einfluss der Asset Diversifikation auf den Vermögensendwert):

              

Wenn man die Auswirkung der verschieden hohen St. Dev. bei den Lifecycle-Strategien untereinander vergleicht (leider mit 200/32.1 vs 200/33 nur ungefähr und nicht exakt identisch), stellt man fest:

• St. Dev = 17.3% / 25.0% / Improvement over higher St. Dev
  • Min. Result: $159.394 / $92.893 / +71,59%
  • 10th pct.: $412.317 / $385.503 / +6,96%
  • 25th pct.: $516.189 / $535.653 / -3,63%
  • Mean: $711.746 / $911.087 / -21,88%
  • 75th pct.: $849.440 / $1.122.598 / -24,33%
  • 90th pct.: $1.067.025 / $1.589.371 / -32,86%
  • Max. Result: $3.084.903 / $7.921,964 / -61,06%

Die Auswirkung der Asset Diversifikation (='Free Lunch' nach Markowitz) auf den Vermögensendwert ist - wie erwartet - insbesondere für das Shortfall-Risiko enorm (und dominiert in diesen Fällen den durch Zeitdiversifikation erzielbaren Vorteil des LCI in absoluter Höhe gegenüber einer konstanten Allokation).  Jenseits stark negativer Renditeverläufe reduziert eine niedrigere Standardabweichung der Renditen bei festgehaltenem Mittelwert der Renditen allerdings die Höhe des Vermögensendwertes (im Mittel ergibt sich $711.746 vs. $911.087, wobei sich dessen Standardabweichung ebenfalls stark verringert $276.903 vs. $564.139).

Für den LCI-Ansatz scheint daher zumindest im statistischen Mittel die Absenkung der Standardabweichung der Renditen (=Asset Diversifikation) einen negativen Einfluss auf die absolute Höhe des Vermögensendwert zu haben. Wobei Asset Diversifkation in der Realität den Mittelwert stabiler bzw. planbarer machen sollte (die Varianz des Mittelwertes über verschiedene Anlagezeiträume betrachtet wird kleiner).

Wenn der risikoadjustierte Vermögensendwert (der inverse Variationskoeffizient) miteinander vergleichen wird, sieht es anders aus:
$711.746 / $276.903 = 2,57 vs. $911.087 / $564.139= 1,62

Asset Diversifikation erhöht also - wie erwartet - ebenfalls wie Zeitdiversifikation die risikoadjustierte Rendite des Vermögensendwertes, womit bei gleichem Risiko des Vermögensendwertes dessen Mittelwert erheblich gesteigert werden kann (oder bei gleichem Mittelwert dessen Risiko erheblich gesenkt werden kann).

Eine Verringerung der St. Dev. der Renditen um 7,7 Prozentpunkte bei konstant gehaltenem Rendite-Mittelwert (=Asset Diversifikation) erhöht im angegebenen Beispiel die risikoadjustierte Rendite des Vermögensendwertes um 58,6%, während der Zeitdiversifikationseffekt von 50/50 auf 200/32.1 bzw. 200/33 diese um 15,8% bzw. 18,5% erhöht.

[Glory_Days]

Der Lifecycle eines Investors lässt sich allgemein in eine Anspar- und Entnahmephase unterteilen. Diese beiden Phasen können zeitlich z.B. durch das Vorzeichen der Differenz aus In- und Outflow von Kapital, d.h. I(Δt) - O(Δt) abgegrenzt werden:

• I) Ansparphase: I(Δt) - O(Δt) > 0
• II) Entnahmephase: I(Δt) - O(Δt) < 0

Der Betrachtungszeitraum Δt sollte dabei hinreichend groß gewählt werden, da es auch während der Ansparphase bzw. Entnahmephase kürzere Zeiträume hoher Kapitalab- bzw. -zuflüsse geben könnte.

 

Auch wenn ich selbst zeitlich noch weit davon entfernt bin, würde mich eine Diskussion über die Entnahmephase im Kontext des LCI-Ansatzes nach Ayres/Nalebuff interessieren. Ayres und Nalebuff schreiben in ihrem Working Paper über das Merton-Samuelson Modell:

Zitat

With these preferences [constant relative risk aversion where γ > 0] and all wealth provided upfront, the optimal portfolio choice is independent of wealth. In addition, the optimal allocation can be calculated without knowing the consumption rule, assuming only that consumption is chosen optimally (or independently of retirement savings).

Der entscheidende Punkt an dieser Stelle ist die Unabhängigkeit der optimalen Allokationsregel von der konkreten Form der Entnahmen, solange die Entnahmeregel ebenfalls optimal ist. Mertons optimale Entnahmeregel sieht dabei eine Fallunterscheidung für endliche Anlagezeiträume T < ∞ vor (c(W,t) ist die (infinitesimale) Entnahmerate pro Einheitszeit (die erste zeitliche Ableitung des zeitabhängigen Konsums), d.h. für die Entnahme selbst muss noch über ein Zeitintervall integriert werden bzw. näherungsweise mit einem kleinen Zeitintervall multipliziert werden):

Offensichtlich richtet sich die Fallunterscheidung für endliche Anlagezeiträume T < ∞ nach dem Wert von ν:

• Während die optimale Allokationsregel π(W,t) unter der genannten Voraussetzung unabhängig von der optimalen Entnahmeregel c(W,t) ist, gilt die Umkehrung im Allgemeinen offensichtlich nicht (da ν von π(W,t) abhängt).
• Im Fall γ = 1 (Bernoulli logarithmic utility) oder ν = 0 wird die optimale Entnahmeregel c(W,t) für endliche Anlagezeiträume T < ∞ unabhängig von π(W,t) (μ = r ist der triviale Fall). Da r, μ, und σ durch die Erwartung des Anlegers festgelegt werden, und γ durch die (konstante) relative Risikoaversion des Anlegers gegeben ist (womit dann π(W,t) bestimmt ist), kann die subjective rate of time preference, ρ, mit der die Utility-Function abfällt bzw. diskontiert wird, immer so gewählt werden, dass ν = 0 [was der Fall ist falls ρ = (1-γ)((μ-r)π(W,t)/2+r)]. Mir ist nicht bekannt, ob eine solche Wahl von ρ - sodass ν = 0 - immer sinnvoll wäre.

In Merton's Portfolio Problem wird der spezifische Fall vollständigen Kapitalverzehrs ("no-bequest") betrachtet:

Zitat

The form of the bequest valuation function (the boundary condition), as is usual for partial differential equations, can cause major changes in the solution to (*). The particular form of the function [B[W(T), T] = ϵ^(1-γ) Exp[-ρT] W(T)^γ/γ] is used as a proxy for the "no-bequest" condition (ϵ = 0). A slightly more general form which can be used without altering the resulting solution substantively is B[W(T), T] = Exp[-pt] G(T) W(T)^γ/γ for arbitrary G(T). If B is not of the isoelastic family, systematic effects of age will appear in the optimal decision-making.

The purpose behind the choice of the particular bequest valuation function was primarily mathematical. The economic motive is that the "true" function for no bequests is B[W(T),T] = 0 (i.e., ϵ = 0). c(W,t) will have a pole at t = T when ϵ = 0 [because there is zero utility associated with positive wealth for t > T].

Merton schreibt in der Diskussion seiner Ergebnisse:

Zitat

An important result is the confirmation of the theorem proved by Samuelson, for the discrete-time case, stating that, for iso-elastic marginal utility, the portfolio-selection decision is independent of the consumption decision. Further, for the special case of Bernoulli logarithmic utility (γ = 0), the separation goes both ways, i.e., the consumption decision is independent of the financial parameters and is only dependent upon the level of wealth. This is a result of two assumptions: (1) constant relative risk-aversion (iso-elastic marginal utility) which implies that one's attitude toward financial risk is independent of one's wealth level, and (2) the stochastic process which generates the price changes (independent increments assumption of the Wiener process). With these two assumptions, the only feedbacks of the system, the price change and the resulting level of wealth, have zero relevance for the portfolio decision and hence, it is constant.

Bezogen auf das Sequence-of-Returns Risiko (SoRR) sehe ich unabhängig von der optimalen Allokations- und Entnahmeregel in Mertons Modell einen Unterschied zwischen Anspar- und Entnahmephase. In der Ansparphase kann theoretisch jegliches SoRR dadurch ausgeschaltet werden, indem der Barwert des True Total Wealths W(0) abgeschätzt und der darauf bezogene investierte risikoreiche Anteil konstant gehalten wird (entspricht einer Einmalanlage aus Sicht des True Total Wealths, d.h. keine Kapitalflüsse). Dabei müssen für die Abschätzung des Barwertes W(0) neben den zukünftigen Einkünften auch die zukünftigen Konsumkosten berücksichtigt bzw. die Einnahmen um diese vermindert werden (sodass effektiv nur das tatsächlich zukünftig investierbare Kapital in Kaufkraft zum Zeitpunkt t=0 berücksichtigt wird).

Zitat

W(n) = W(0) * (P0*(1+R(1))+(1-P0)*(1+Rf(1))) * (P0*(1+R(2))+(1-P0)*(1+Rf(2))) * … * (P0*(1+R(n))+(1-P0)*(1+Rf(n)))

Mit W(n) = True Total Wealth nach n Perioden, P0 = Konstanter prozentualer Anteil des True Total Wealth, R(1), ..., R(n) = periodische Renditen des risikoreichen Anteils am True Total Wealth und Rf(1), ..., Rf(n) = periodische Renditen des risikolosen Anteils am True Total Wealth

In der Entnahmephase verändert sich durch die Kapitalentnahmen die Mathematik der Dynamik des True Total Wealths. Diese Phase entspricht prinzipiell Mertons Modell, in dem implizit angenommen wird, dass das Gesamtkapital W(n) von Anfang an zur Verfügung steht und Kapitalflüsse möglich sind (in Mertons Modell sind nur Entnahmen möglich):

Zitat

W(m) = W(n) * (1+ΔW(n+1))*(P0*(1+R(n+1))+(1-P0)*(1+Rf(n+1))) * (1+ΔW(n+2))*(P0*(1+R(n+2))+(1-P0)*(1+Rf(n+2)) * … * (1+ΔW(m))*(P0*(1+R(m))+(1-P0)*(1+Rf(m)))

Mit W(m) = True Total Wealth nach m Perioden, ΔW(m) = (I(m)-O(m))/W(m-1) = Kapitalfluss (= Inflow - Outflow) zu Beginn der m-ten Periode, P0 = Konstanter prozentualer Anteil des True Total Wealth, R1, ..., Rn = periodische Renditen des risikoreichen Anteils am True Total Wealth und Rf1, ..., Rfn = periodische Renditen des risikolosen Anteils am True Total Wealth

So gesehen ist die Ansparphase rein von der Arithmetik her ein Spezialfall des allgemeinen Falls der Entnahmephase mit ΔW = 0. Wenn neben der Allokation zusätzlich der Faktor (1+ΔW(m)) für alle Zeitschritte konstant gehalten wird, dann wird auch in dieser Phase das SoRR komplett ausgeschaltet. Das ist genau dann der Fall, wenn vor jedem Zeitschritt ein konstanter prozentualer Anteil am dann jeweils aktuellen True Total Wealth entnommen wird.

In dieser Form spielt der vollständige Kapitalverzehr - wie er in Mertons Modell angenommen wird - keine Rolle, weshalb dieses Vorgehen nicht den optimalen Allokationsregeln in Mertons Modell entspricht.

[Glory_Days]

Siehe auch meine Beiträge hier zu einer rationalen Vorgehensweise in der Entnahmephase bei inhärenter Unsicherheit zukünftiger Renditen:

[Glory_Days]

Ayres und Nalebuffs Buch zeigt, dass sowohl auf realen historischen Daten als auch unter MC-Simulation der gehebelte LCI-Ansatz gegenüber im Risiko vergleichbaren Renditen den risikoadjustierten Vermögensendwert maximiert, wenn das Sequence-of-Returns Risk minimiert wird.

Ich habe selbst mal eine MC-Simulation aufgesetzt, die von vornherein von ausgeschaltetem SoRR (dem wesentlichen Grund für die Überlegenheit des LCI-Ansatzes) ausgeht. Die wohl wichtigste Ebene der Diversifikation ist unter dieser Voraussetzung die Aufteilung des Portfolios zwischen risikoreich und risikoarm angelegten Anteil.

Unter Annahme einer Lognormal-Verteilung bin ich von den weiter oben berechneten realen Renditen des MSCI Worlds im Zeitraum 1970-2022 und des risikofreien Zinses ausgegangen und habe diese als Input-Parameter für die MC-Simulation mit insgesamt 24.576 Durchläufen verwendet. Der Vermögensendwert zum Zeitpunkt t = 0 wurde auf 1 normiert und ist am Ende der simulierten 35 Jahre Periode in Kaufkraft zum Zeitpunkt t = 0 angegeben.

  

Das Ergebnis in Histogramm-Form sieht folgendermaßen aus (die Prozentzahl gibt den risikoreichen Anteil des Portfolios an):

 

Wie erwartet verschiebt sich die Verteilung mit zunehmendem risikoreichen Anteil weiter nach rechts. Der Variationskoeffizient (d.h. Stddev / Kumulative Rendite) zeigt ein Minimum und nimmt danach monoton zu. Das Minimum ist auf die Standardabweichung <> 0 des risikofreien Zinses zurückzuführen (da der risikofreie Zins veränderlich ist) (wenn diese gegen Null geht, geht auch der Variationskoeffizient für einen verschwindenden risikoreichen Anteil gegen null und wird streng monoton steigend).

 

 

Kritisch werden könnte es, wenn der Variationskoeffizient zu groß wird - bereits bei 50% risikoreicher Anteil liegt dieser bezogen auf den Vermögensendwert bei 0,75 bzw. 75%. Der Variationskoeffizient erreicht den Wert von ~1 (dann ist die Standardabweichung vom Wert her gleich wie die kumulative Rendite) bei einer risikoreichen Allokation von 75%.

Jetzt ist der Variationskoeffizient ohne Kenntnis der Verteilung bzw. dessen Scatter Interval relativ nichtssagend. Dafür bietet sich eine Perzentialbetrachtung der kumulativen Rendite ab (Vermögensendwert = 1 + Rendite). Bei einem risikoreichen Anteil von 75% ergibt sich (Mittelwert = 5.02 (geom. Return = 5,26% p.a.), Standardabweichung = 5,20):

 

 

Interessanterweise sind die Kurven der kumulativen Rendite für die einzelnen Perzentale aufgetragen über dem risikoreichen Anteil alle streng monoton steigend (selbst für das 10te Perzentil, d.h. das Shortfall-Risiko reduziert sich mit zunehmendem risikoreichen Anteil zumindest wenn bis zu diesem Perzentil betrachtet):

       

 

Das ist doch ein sehr schönes und ermutigendes Ergebnis bezogen auf den Vermögensendwert.

Was man hier sieht, ist nur die Verteilung des Vermögensendwerts (der für einen Anleger am Ende wohl die entscheidende Größe ist). Was man hier allerdings nicht sieht, ist der Weg zum Vermögensendwert. Dafür sollte man noch Größen wie die Standardabweichung der Jahresrenditen (die Volatilität unterwegs) und den Max Drawdown (maximaler Verlust unterwegs) für die einzelnen Perzentile berechnen, aber das hebe ich mal für ein anderes Mal auf.

Die Zusammensetzung des risikoreichen Anteils (= das Portfolio) wird diese Größen maßgeblich beeinflussen. Wenn man die dominierende Effekte betrachtet, kann man grob schlussfolgern:

1. Die Höhe des risikoreichen Anteils beeinflusst maßgeblich die Verteilung des Vermögensendwerts
2. Die Portfolio-Zusammensetzung beeinflusst maßgeblich den Weg zum Vermögensendwert

Beide Dinge (risikoreicher Anteil & Portfolio-Zusammensetzung) sind allerdings intrinsisch miteinander verknüpft und beeinflussen sich gegenseitig (d.h. mit einem geringeren risikoreichen Anteil wird man genauso einen schwankungsärmeren Weg zum Vermögensendwert haben, wie mit einer weniger volatilen Portfoliozusammensetzung. Und man wird mit einem geringeren risikoreichen Anteil weniger Schwankung im Vermögensendwert haben genauso wie mit einer weniger volatilen Portfoliozusammensetzung).

[Glory_Days]

Ich bin ein Freund davon, komplexere Konzepte wie LCI immer auf ein minimales Modell herunterzubrechen.

Wie müssen die Bedingungen eines solchen minimalen Modells aussehen?

• Zwei Assets (minimales nicht-triviales Portfolio bestehend aus risikoreichem und risikolosem Asset)
• Zwei Perioden mit variable einstellbarer Gewichtung (minimaler nicht-trivialer Betrachtungszeitraum)
• Die Renditen der beiden Assets werden als Zufallsvariablen angenommen (z.B. unabhängig und identisch verteilt durch eine jeweils eigene Log-Normalverteilung)

Aus diesen Bedingungen leitet sich folgende Gleichung ab:

Zitat

W(2) = W(0) * (w1 * R1 + (1 - w1) * Rf1) * (w2 * R2 + (1 - w2) * Rf2)

Für diese Gleichung lassen sich Monte-Carlo Simulationen durchführen. Ich habe jeweils 294.912 zufällige Durchläufe erzeugt und dabei folgende historischen realen Parameter des MSCI World 1970 - 2022 verwendet:
 

 

Dann ergibt sich bei konstant gehaltenem mittlerem W(2) folgendes Bild:

Zitat

• w1 = 80%, w2 = 80%

Mean Return    0.1079    
St. Dev.    0.2046    
Coefficient of Variance    1.8967    

 

Cumulative Return    Geometric Return
Min    -51.82%    -2.06%
10th Percentile    -13.31%    -0.41%
25th Percentile    -3.63%    -0.11%
50th Percentile    8.56%    0.24%
75th Percentile    22.80%    0.59%
90th Percentile    37.79%    0.92%
Max    162.48%    2.80%

 

• w1 = 63%, w2 = 100%

Mean Return    0.1079 
St. Dev.    0.2113    
Coefficient of Variance    1.9558    

Cumulative Return    Geometric Return
Min    -53.82%    -2.18%
10th Percentile    -13.86%    -0.43%
25th Percentile    -3.81%    -0.11%
50th Percentile    8.33%    0.23%
75th Percentile    22.97%    0.59%
90th Percentile    38.71%    0.94%
Max    165.32%    2.83%
 

• w1 = 18%, w2 = 153%

Mean Return    0.1079  
St. Dev.    0.2615    
Coefficient of Variance    2.4207    
  

Cumulative Return    Geometric Return
Min    -84.68%    -5.22%
10th Percentile    -19.86%    -0.63%
25th Percentile    -5.28%    -0.15%
50th Percentile    6.18%    0.17%
75th Percentile    26.08%    0.66%
90th Percentile    45.93%    1.09%
Max    217.21%    3.35%

 

• w1 = 138%, w2 = 18%

Mean Return    0.1079   
St. Dev.    0.2481    
Coefficient of Variance    2.3020    

 

Cumulative Return    Geometric Return
Min    -70.02%    -3.38%
10th Percentile    -19.26%    -0.61%
25th Percentile    -6.79%    -0.20%
50th Percentile    8.72%    0.24%
75th Percentile    26.08%    0.66%
90th Percentile    43.52%    1.04%
Max    176.42%    2.95%

[qwertzui]

vor 6 Stunden von Glory_Days:

Die Renditen der beiden Assets werden als Zufallsvariablen angenommen

Das halte ich für die bedeutendste Falschannahme in den allermeisten Modellen. Börsenkurse haben doch einen sehr anderen Verlauf als Zufallsvariablen. Benoit Mandelbrot hat dem sein halbes Leben gewittmet und wohl auch eine Methode entwickelt Preisverläufe zu erzeugen, die der Realität etwas mehr gleichen als normalverteilte Zufallswerte. Darauf aufbauend, so seine Idee, könne man viel realistischere Risikoabschätzungen durchführen. Es ist sozusagen eine wildere Form des Zufalls, die sich aber leider mathematisch nicht mehr so leicht verarbeiten lässt. Hast du davon schon mal was gehört? Wäre vielleicht auch was für dich, in dem Bereich etwas zu forschen. 

[Glory_Days]

Am 2.9.2023 um 21:15 von qwertzui:

Das halte ich für die bedeutendste Falschannahme in den allermeisten Modellen. Börsenkurse haben doch einen sehr anderen Verlauf als Zufallsvariablen. Benoit Mandelbrot hat dem sein halbes Leben gewittmet und wohl auch eine Methode entwickelt Preisverläufe zu erzeugen, die der Realität etwas mehr gleichen als normalverteilte Zufallswerte. Darauf aufbauend, so seine Idee, könne man viel realistischere Risikoabschätzungen durchführen. Es ist sozusagen eine wildere Form des Zufalls, die sich aber leider mathematisch nicht mehr so leicht verarbeiten lässt. Hast du davon schon mal was gehört? Wäre vielleicht auch was für dich, in dem Bereich etwas zu forschen. 

Eine beliebige Stichprobe unterliegt zunächst einmal zwangsläufig einer Verteilung im Sinne relativer Häufigkeiten (aus denen z.B. ein Histogramm erzeugt werden könnte). Renditen daher als Zufallsvariablen anzuehmen, kann in diesem Sinne keine mathematische Falschannahme sein. Den Punkt, auf den du eigentlich hinaus möchtest, ist die Annahme über die zugrundeliegende (dynamische) Verteilungsfunktion, der die Zufallsvariablen unterliegen (in meinen MC-Simulationen eine statische Log-Normalverteilung).

Offensichtlich ist bis heute keine exakte Bewegungsgleichung für die Verteilungsfunktion von Renditen bekannt, die deren Dynamik vollumfänglich beschreiben würde. Angesichts der Komplexität des Systems kann es - u.a. mangels Kenntnis der Anfangs- und Randbedingungen - in meinen Augen sowieso immer nur um näherungsweise Modelle gehen. Diese basieren mehrheitlich aus Erkenntnissen vergangener Renditedaten und deren Verteilung, die z.B. nachträglich durch die Vorgabe einer Verteilungsfunktion numerisch gefittet werden kann. Es gibt sicherlich bessere und schlechte Fitfunktionen, aus denen man schließlich Trajektorien (Preisverläufe) erzeugen kann (ggf. sogar in einem dynamischen Ansatz für die Verteilungsfunktion). Auf welchen konkrete Ansatz für die Verteilungsfunktion du bei Mandelbrot anspielst, ist mir nicht bekannt (gerne verlinken, falls du dazu eine Quelle hast).

Ich weiß allerdings, dass in der Finanzmathematik häufig von einer Log-Normalverteilung als guter Näherung ausgegangen wird. Das hat verschiedene Gründe:

• Renditefaktoren R = P(t)/P(t-1) sind nach unten hin begrenzt und bewegen sich im Intervall (0, +∞). Log-Normalverteilte Zufallsvariablen haben den korrekten Träger x ∈ (0, +∞).
• Der geometrische Mittelwert von n unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen nähert sich für n -> ∞ asymptotisch einer Log-Normalverteilung unabhängig von der Ausgangsverteilung der einzelnen Renditen an (multiplikativer Zentraler Grenzwertsatz).
• Mit unabhängigen Log-Normalverteilungen lässt sich in multiplikativen Zusammenhängen einfach rechnen, da das Produkt zweier Log-normalverteilter Zufallsvariablen selbst auch wieder Log-normalverteilt ist.

Obige Simulationsergebnisse lassen sich auch analytisch ohne Simulation mit dem oben angegeben Mean-Variance Input unter der Annahme der Unabhängigkeit der Renditen berechnen (d.h. E[X*Y] = E[X]*E[Y], daraus folgt die Unkorreliertheit der Renditen für verschiedene Zeitperioden; die Renditen der Assets innerhalb einer Zeitperiode können in der analytischen Rechnung beliebig korreliert sein). Ohne Annahme der Unabhängigkeit lässt sich W(2) nicht auf den Rendite-Mittelwert und die Varianz der einzelnen Perioden zurückführen, gleichverteilt müssen die Perioden allerdings nicht sein.

[Sapine]

Zwischen (guter) Näherung und perfekter Abbildung mag es noch einige Zwischenschritte geben. 

[Glory_Days]

vor 2 Minuten von Sapine:

Zwischen (guter) Näherung und perfekter Abbildung mag es noch einige Zwischenschritte geben. 

Das kann - wie oben ausgeführt - nicht das Ziel sein und ich halte jeden Versuch einer perfekten Abbildung aus nachvollziehbaren Gründen für sinn- und zwecklos.

[Sapine]

Wieso kann es nicht das Ziel sein, ein vorhandenes Modell zu verbessern? Kein Mensch sagt, dass nur die perfekte Lösung ok wäre. 

[Glory_Days]

vor einer Stunde von Glory_Days:

Obige Simulationsergebnisse lassen sich auch analytisch ohne Simulation mit dem oben angegeben Mean-Variance Input unter der Annahme der Unabhängigkeit der Renditen berechnen (d.h. E[X*Y] = E[X]*E[Y], daraus folgt die Unkorreliertheit der Renditen für verschiedene Zeitperioden; die Renditen der Assets innerhalb einer Zeitperiode können in der analytischen Rechnung beliebig korreliert sein). Ohne Annahme der Unabhängigkeit lässt sich W(2) nicht auf den Rendite-Mittelwert der einzelnen Perioden zurückführen, gleichverteilt müssen die Perioden allerdings nicht sein.

Wir wissen, dass Volatilität dazu tendiert zu clustern bzw. das diese eine positive serielle Korrelation aufweist (d.h. große Änderungen folgen tendenziell auf große Änderungen, und kleine Änderungen folgen tendenziell auf kleinee Änderungen), was von Benoit Mandelbrot erstmalig in den 1960er Jahren entdeckt wurde. Von daher bereitet mir die Annahme der Unabhängigkeit der Renditeperioden (und die dadurch implizierte Unkorreliertheit) die größten Bauchschmerzen, wobei man theoretisch die Zeitskala hinreichend groß wählen könnte, dass man am Ende eventuell doch wieder von Unabhängigkeit ausgehen könnte (die Renditen der beiden Assets innerhalb einer Zeitperiode sind in der Simulation aufgrund der unabhängigen Erzeugung der Zufallszahlen ebenfalls unkorreliert).

Für in verschiedenen Zeitperioden abhängige Zufallsvariablen müsste man eine konkrete Abhängigkeit für einzelne Perioden vorgeben. In der Simulation kann man im Gegensatz zur analytischen Rechnung natürlich alles berechnen. Ich denke aber, dass die Ergebnisse nicht allzu sehr von diesen Voraussetzungen abhängen - gerade wenn man lange Zeiträume betrachtet (wie es bei LCI der Fall ist).

vor 43 Minuten von Sapine:

Wieso kann es nicht das Ziel sein, ein vorhandenes Modell zu verbessern? Kein Mensch sagt, dass nur die perfekte Lösung ok wäre. 

Ich weiß ehrlich gesagt gerade nicht, über was du diskutieren möchtest? Wenn du konkrete Verbesserungsvorschläge hinsichtlich der oben vorgestellten Simulation hast, habe ich selbstverständlich immer ein offenes Ohr.

 

Ansonsten gibt bereits dieses einfache Modell den LCI-Effekt, der über lange Zeiträume auf echten historischen Daten im Buch von Ayres/Nalebuff gefunden wurde, für das verwendete Parameter-Regime qualitativ wieder:

• Höchster risikoadjustierter Vermögensendwert unter Festhalten des Vermögensendwert-Mittelwertes bei konstanter risikoreicher Allokation

Ich finde das absolut bemerkenswert und hilfreich. Der Wert des einfachen Modells liegt also nicht darin begründet, eine neue Beschreibung der Verteilung von Renditen gefunden zu haben, sondern den LCI-Effekt in einem minimalistischen Modell mit realistischen Inputwerten basierend auf historischen Renditen qualitativ nachgewiesen zu haben. Wie in #313 im ersten Satz bemerkt, war genau das das Ziel.

[qwertzui]

vor 11 Stunden von Glory_Days:

Auf welchen konkrete Ansatz für die Verteilungsfunktion du bei Mandelbrot anspielst, ist mir nicht bekannt (gerne verlinken, falls du dazu eine Quelle hast).

Ich kann leider nur ein Buch verlinken, dass mir die Augen geöffnet hat. Mandelbrot hat das als den Höhepunkt seiner Arbeit bezeichnet, obwohl er aus wissenschaftlicher Sicht mit der Begründung der fraktalen Mathematik ein Fundament gelegt hat. Das Hauptproblem bei jeder gewöhnlichen Zufallsverteilung ist, dass die Zufallsvariable nicht von ihrem Vorgänger abhängt, was aber bei Börsenkursen und auch in der Natur bei Turbulenzen zu einem gewissen Grad so ist. Mandelbrot hat dafür mit der fraktalen Marhematik eine Art 2,5te Dimmension eingeführt, in der sich solche Sachen berechnen lassen. Leider ist er aber verstorben, bevor er seine Forschung zu Ende führen konnte. 

 

Fraktale und Finanzen: Märkte zwischen Risiko, Rendite und Ruin https://amzn.eu/d/8PqJv2b

[Glory_Days]

vor 2 Stunden von qwertzui:

Fraktale und Finanzen: Märkte zwischen Risiko, Rendite und Ruin

Danke, kann ich bei Zeiten mal einen Blick reinwerfen.

vor 2 Stunden von qwertzui:

Das Hauptproblem bei jeder gewöhnlichen Zufallsverteilung ist, dass die Zufallsvariable nicht von ihrem Vorgänger abhängt, was aber bei Börsenkursen und auch in der Natur bei Turbulenzen zu einem gewissen Grad so ist. Mandelbrot hat dafür mit der fraktalen Marhematik eine Art 2,5te Dimmension eingeführt, in der sich solche Sachen berechnen lassen. Leider ist er aber verstorben, bevor er seine Forschung zu Ende führen konnte. 

Häufig gehen Bewegungsgleichungen für Zufallsvariablen oder für die Verteilung der Zufallsvariablen tatsächlich von der sog. Markov-Eigenschaft aus, d.h. stochastische Prozesse werden als Memory-free modelliert. Das bedeutet, dass der aktuelle Zustand eines Systems alle Informationen über zukünftige Zustände beinhaltet und die Vergangenheit keinen Einfluss auf die Zukunft hat.

Man sollte wissen, dass eine Beschreibung, die alle Freiheitsgrade eines Systems beinhaltet (mikroskopischer Ausgangspunkt) immer die Markov-Eigenschaft aufweist und Memory-free ist. Häufig geht man bei der äußerst anspruchsvollen mikroskopischen Beschreibung von Bewegungsgleichungen komplexer Systemen zu einer effektiven Beschreibung über, indem Freiheitgrade des Systems ausintegriert werden (d.h. nur implizit berücksichtigt werden), wodurch die Beschreibung die Markov-Eigenschaft verliert und der zukünftige Zustand des Systems im Allgemeinen dann von allen vergangenen Zuständen abhängt (neben einem Memory-Term tritt in den stochastischen Bewegungsgleichungen zusätzlich ein Noise-Term auf). Diese Eigenschaften sind zunächst einmal unabhängig vom konkret betrachteten System.

Bei Börsenkursen/-renditen scheint mir das Problem zu sein, dass der mikroskopische Ausgangspunkt bzw. die Gesamtheit aller Freiheitsgrade unbekannt bzw. nicht modellierbar ist und man von vornherein von einer effektiven Beschreibung ausgehen muss. In diesem Sinne ist es rational von einer nicht-Markovschen Gleichung mit Memory auszugehen. Es stellt sich dann natürlich die Frage, in welcher Form zukünftige Zustände des Systems von der Vergangenheit abhängen und wie zeitveränderlich dieser Zusammenhang ist. Sicherlich kann man auch hier einiges aus vergangenen Daten lernen und auch neue effektive Freiheitsgrade definieren. Ich halte derartige Ansätze allerdings für wenig prospektiv, da sie das Grundproblem der unbekannten mikroskopischen Beschreibung (und damit in der effektiven Beschreibung die unbekannte Form des Memory Kernels, des Noise-Terms sowie der Anfangs- und Randbedingungen) nicht lösen kann. D.h. für bestimmte Datenreihen könnte der Ansatz gut passen, eine allgemeine out-of-sample Prognosefähigkeit sehe ich jenseits des korrekt formulierten mikroskopischen Ausgangspunkt aber als unmöglich an.

Das Ziel einer solchen Form der Beschreibung von Preisen/Renditen habe ich für mich persönlich schon länger abgehakt, da ich es bei den gegebenen Rahmenbedingungen für sinn- und zwecklos und damit für Zeitverschwendung halte. Stattdessen fokussiere ich mich auf die Dinge, die ich selbst garantiert beeinflussen kann (z.B. die Allokation im Zeitverlauf, die Kosten etc.). Solange dieser Rahmen mathematisch sinnvoll gesetzt wird, ist die Wahrscheinlichkeit hinreichend hoch, erfolgreich investieren zu können. Bei allem anderen möchte ich keiner Kontrollillusion unterliegen, die am Ende in schmerzhaften Fehlentscheidungen mündet.

[Glory_Days]

Auf welche Art und Weise würdet ihr eine selbstgenutzte Immobilie im True Total Wealth im Rahmen des LCI-Ansatzes berücksichtigen? Würdet ihr den Wert der selbstgenutzten Immobilie miteinrechnen und falls ja, als Teil des risikoreichen Anteils oder des risikoarmen Anteils des True Total Wealths sehen oder gar aufgeteilt auf beides?

Sollte es für die Berücksichtigung im True Total Wealth eine Rolle spielen, ob der Wille zu einem Verkauf der selbstgenutzten Immobilie grundsätzlich überhaupt vorhanden ist?

[Sapine]

Eine Immobilie ist weder ganz risikoarm noch besonders risikoreich, ähnlich wie beispielsweise Anleihen mittlerer Laufzeit würde ich meinen.

 

Beim Wert muss man denke ich unterscheiden zwischen dem was man ausgegeben hat und dem was man bei einem Verkauf realistisch erzielen könnte. Ich denke insbesondere bei denen, die ihr Haus selbst gebaut haben wurden viele teils sehr teure Wünsche realisiert, die sich bei einem Verkauf nicht auszahlen werden. Typische Beispiele könnten Ausstattungsmerkmale wie Fußbodenbeläge sein oder generell besondere Gestaltungen die stark an den eigenen Geschmack gekoppelt sind. Zum eigentlichen Vermögensaufbau würde ich nur den Wiederverkaufswert berücksichtigen und auch den möglicherweise nur nach Abzug entsprechender Verkaufsspesen (Vorfälligkeitsentschädigung, Maklerkosten, Spekulationssteuer, Notarkosten usw.).

[Glory_Days]

vor 4 Stunden von Sapine:

Eine Immobilie ist weder ganz risikoarm noch besonders risikoreich, ähnlich wie beispielsweise Anleihen mittlerer Laufzeit würde ich meinen.

Stimme zu - hängt natürlich bis zu einem gewissen Grad vom individuellen Objekt ab. Vielleicht ist vor diesem Hintergrund als Daumenregel eine 50/50 Zuteilung zum risikoarmen/risikoreichen Anteil am True Total Wealth sinnvoll.

vor 4 Stunden von Sapine:

Beim Wert muss man denke ich unterscheiden zwischen dem was man ausgegeben hat und dem was man bei einem Verkauf realistisch erzielen könnte. Ich denke insbesondere bei denen, die ihr Haus selbst gebaut haben wurden viele teils sehr teure Wünsche realisiert, die sich bei einem Verkauf nicht auszahlen werden. Typische Beispiele könnten Ausstattungsmerkmale wie Fußbodenbeläge sein oder generell besondere Gestaltungen die stark an den eigenen Geschmack gekoppelt sind. Zum eigentlichen Vermögensaufbau würde ich nur den Wiederverkaufswert berücksichtigen und auch den möglicherweise nur nach Abzug entsprechender Verkaufsspesen (Vorfälligkeitsentschädigung, Maklerkosten, Spekulationssteuer, Notarkosten usw.).

Für das True Total Wealth spielt nur der bei einem möglichen Verkauf realistische Wert eine Rolle - dabei handelt es sich natürlich selbst auch nur um einen groben Schätzwert (wenn man seine selbstgenutzte Immobilie nicht gerade immer wieder zum Verkauf anbietet bzw. Gutachten erstellen lässt, um fortlaufend den Verkaufswert zu prüfen).

Bei meiner Frage ging es weniger um die Genauigkeit dieses Schätzwertes, sondern die Behandlung selbstgenutzen Immobilieneigentums im Rahmen der Life Cycle Investing-Strategie (insbesondere ob überhaupt und wenn ja wie stark der geschätzte Wert der selbstgenutzten Immobilie dem risikoreichen Anteil am True Total Wealth zugeschrieben werden sollte).

[Sapine]

Wenn man nur zwischen schwarz und weiß unterscheidet, wird die Antwort schwer.