Wie sichern Rentenpapiere ein Depot ab ?

[sparfux]

Aktie1 mit sigma_1 = 3 => Var_1= 9

Aktie2 mit sigma_2 = 4 => Var_2= 16

 

=> Var_Portfolio = 25 => sigma_Portfolio = 5

OK, aber kleiner wird die Standardabweichung aber trotzdem nicht.

[fehdi]

Ist das wirklich so? Ich vermeine mich dunkel erinnern zu können, dass ich in meiner Diplomarbeit mal hergeleitet habe, dass sich bei zwei unkorrelierten Zufallszahlen die Varianzen addieren, die Gesamt-Schwankungsbreite also höher wird. Ist nachdem was Du selber schreibst ja auch intuitiv einsichtig: Die Werte laufen genauso wahrscheinlich in die gleiche wie in die gegensätzliche Richtung (--> gleiche Richtung --> höhere Schwankungsbreite).

 

Ist aber schon lange her und vielleicht habe ich ja auch damals Blödsinn geschrieben.

 

 

Zur Intuition:

 

Nehmen wir Münzen: Kopf = -1, Zahl = 1. Der Erwartungswert sollte 0 sind.

 

Ich setze 100% auf nur eine Münze: Wahrscheinlichkeit um mehr als 0,5 vom Ewert abzuweichen ist 1.

Ich setze zu gleichen Teilen auf zwei Münzen, d.h. eine Münze bringt mir nun die gewichtete Auszahlung 0,5 bzw. -0,5. In 50% der Fälle habe ich einmal Kopf einmal Zahl, erhalte also genau den Erwartungswert. Ich weiche nur noch in 50% der Fälle um mehr als 0,5 vom EWert ab.

Drei Münzen weichen nur noch in 2 von 8 Fällen stärker als 0,5 vom Ewert ab.

 

In dem Sinne möchte ich hier (mathematisch natürlich etwas stümperhaft) das schwache Gesetz der großen Zahlen anwenden. Wenn ich also nur genügend unkorrelierte Zufallsvariablen habe, landet die Summenvariable in der Nähe des erwartungswertes.

 

Bei Eurer Rechnung habe Ihr vielleicht vergessen, dass ich mein Kapital nur einmal anlegen kann. Wenn ich plötzlich mehrere ZVs habe, kann ich ja nur in eine Konvexkombination investieren. Ansonsten habt Ihr natürlich recht, wenn ich mein Kapital verdoppel, steigt natürlich auch die Standardabweichung/Varianz, obwohl ich in diversifiziert habe.

 

Sorry, an die Nichtmathematiker...

[steff123]

OK, aber kleiner wird die Standardabweichung aber trotzdem nicht.

 

Ich habe ja auch total die Gewichtungen vergessen.

 

 

Bsp:

Aktie1 mit sigma = 6 => Var(Aktie1)= 36

Aktie2 mit sigma = 8 => Var(Aktie2)= 64

 

Nehmen wir gleiche Gewichtung an:

 

Var(Portfolio) = Var(0,5*Aktie1 + 0,5*Aktie2) = 0,5^2 * ( Var(Aktie1) + Var(Aktie2) )= 0,25 * 100 = 25

 

=> sigma_portfolio=5 (Standarbweichung geringer )

 

Die Formel habe ich verwendet

 

 

Die Doppelsumme ist Null, weil wegen der Unkorreliertheit alle Cov(X_i,X_j)=0 sind.

[etherial]

Erst zu Korrelation -1:

Zur Intuition:

Nehmen wir Münzen: Kopf = -1, Zahl = 1. Der Erwartungswert sollte 0 sind.

 

Stimmt. DAX und ShortDAX haben auch Korrelation -1. Geringe Korrelation erhöht nicht deine Rendite, sondern senkt dein Risiko!

 

Nur DAX hat einen Erwartungswert von +8%, ShortDAX einen von -8%. Wenn du ein 50:50-Portfolio hast kriegst du risikolos 0% Rendite (bzw. den Tagesgeldzins des ShortDAX)... Das kriegst du mit dem Sparstrumpf (Tagesgeldkonto) auch, und genauso risikolos.

 

Für das ideale Portfolio musst du also Komponenten auswählen die alleine schon einen Rendite-Erwartungswert haben, der höher als dein Tagesgeld ist.

 

Jetzt zu Korrelation 0:

OK, aber kleiner wird die Standardabweichung aber trotzdem nicht.

 

Bei Zufallsvariablen stimmt das. (Steff korrigiert mich bei Bedarf), wenn ich

- 100 mit 5 mittlerer Rendite und 3 StAbw

- 100 mit 4 mittlerer Rendite und 4 StAbw

 

habe, bekomme ich am Ende

- 200 zu 9 mittlerer Rendite und 5 StdAbw

 

das entspricht aber

- 100 zu 4,5 mittlerer Rendite und 2,5 StdAbw

 

Es folgt: Der Erwartungswert mittelt sich, die StdAbw sinkt.

[steff123]

Jetzt zu Korrelation 0:

Bei Zufallsvariablen stimmt das. (Steff korrigiert mich bei Bedarf), wenn ich

- 100 mit 5 mittlerer Rendite und 3 StAbw

- 100 mit 4 mittlerer Rendite und 4 StAbw

 

habe, bekomme ich am Ende

- 200 zu 9 mittlerer Rendite und 5 StdAbw

 

das entspricht aber

- 100 zu 4,5 mittlerer Rendite und 2,5 StdAbw

 

Es folgt: Der Erwartungswert mittelt sich, die StdAbw sinkt.

 

 

Genau dasselbe habe ich ja einen Beitrag höher auch beschrieben . Ich habe vorhins einfach die Gewichtungsfaktoren vergessen. Das hatte den Effekt, dass sich der Portfoliowert verdoppelt.

[etherial]

Mir geht es nun darum, dass ich ja nicht nur zwei sondern ganz viele Assets habe (in der Realität ja jedes einzelne Wertpapier), und ich kann nicht verstehen, warum da nun negative Korrelationen besonders wünschenswert sind (siehe meinen zweiten Beitrag).

 

Portfoliotheorie geht aus von risiko-aversen Anlegern. Das bedeutet nicht, dass der Anleger Risiko scheut, sondern, dass er unnötiges Risiko scheut.

 

Von zwei Portfolios A und B:

A hat Rendite-Erwartungswert 10% und Risiko 3%

B hat Rendite-Erwartungswert 10% und Risiko 4%

 

nimmt der risiko-averse Anleger immer Portfolio A, weil es gleiches Rendite hat, aber geringeres Risiko.

 

Von zwei Portfolios C und D:

C hat Rendite-Erwartungswert 10% und Risiko 5%

D hat Rendite-Erwartungswert 12% und Risiko 5%

 

nimmt der risiko-averse Anleger immer Portfolio D, weil es höhere Rendite bei gleichem Risiko hat.

 

 

Habe ich nun 3 Wertpapiere:

E mit mittlerere Rendite=6%, StdAbw 3%

F mit mittlerere Rendite=7%, StdAbw 3%

G mit mittlerere Rendite=7%, StdAbw 3%

 

E,F,G haben gleiche Varianzen, Cov(E,F) = -1, Cov(E,G) = 0

 

Dann bekomme ich das Portfolio (Formel von Steff):

- 50%*E+50%*F zu 6,5% Rendite, Risiko=0

- 50%*E+50%*G zu 6,5% Rendite, Risko = 3*sqrt(2)

 

Logischerweise entscheidet sich der risikoaverse Investor für E+F und nicht für E+G.

 

Für mehrere Wertpapiere werden die Formeln komplizierter aber das Prinzip ist gleich.

[fehdi]

Hallo etherial,

 

vielen Dank für Deine Antwort. Das Prinzip der Risikoreduktion habe ich verstanden. Mit unkorrelierten Assets erhöhe ich ja auch nicht die Rendite, sondern versuche nur zu einer gegebenen Rendite mein Risiko durch Streuung zu verringern.

 

Für das ideale Portfolio musst du also Komponenten auswählen die alleine schon einen Rendite-Erwartungswert haben, der höher als dein Tagesgeld ist.

 

Ich möchte mal die kühne Behauptung aufstellen, dass es solche Komponenten zumindest in der Theorie gar nicht geben kann, sofern sie denn wirklich stark negativ korreliert sind.

 

Dazu mal ein kleines (natürlich rein akademisches und vollkommen unrealistisches) Gedankenexperiment. Es kommt mir dabei nur auf die prinzipielle Funktionsweise des Marktes an:

 

Angenommen unser Finanzmarkt gehorcht zumindest auf mittel- und langfristiger Sicht dem Gesetz von Angebot und Nachfrage bei der Preisfindung und ist außerdem noch effizient, also arbitragefrei.

 

Nehmen wir noch an, es gibt drei Möglichkeiten sein Geld zu investieren:

1) Aktie: erwartete Rendite 7%,

2) Anleihe: erwartete Rendite 5%,

3) Geldmarkt: Rendite 4%,

 

Nehmen wir desweiteren an, Aktie und Anleihe hätten die gleiche Vola und hätten zueinander die Korrelation -1.

 

Jetzt stelle ich mir ein Portfolio mit einer Aktie und einer Anleihe zusammen. Der Gesamtwert des Portfolios wird mittelfristig nur wenig schwanken, weil die Kursgewinne des einen, die über seine erwartete Rendite hinausgehen, die Rendite des anderen Wertpapiers senkt. Ich kann also erwarten etwa 6% Rendite mit wenig Schwankungen zu machen.

 

So weit so gut. Aber es gibt ja nun noch den Geldmarkt und (frei nach Grumel: ), da der Rest der Welt auch nicht blöde ist, werden insbesondere Banken nun Geld zu Geldmarktkonditionen leihen und dafür ebenfalls das Aktien/Anleihen Portfolio kaufen. Die können dann nämlich fast risikofrei (wegen der starken negativen Korrelation) ohne Einsatz von Eigenkapital aufgrund der Überrendite einen beliebig hohen Gewinn erreichen.

 

Da das einer Abitrage gleichkommt, bzw. nach dem Nachfrage/Angebot Spiel sich die Preis so anpassen werden, dass mit dem Anleihen/Aktien Portfolio keine Überrendite im Vergleich zum Geldmarkt mehr möglich ist, wird diese Geschäfte nicht lange möglich sein können.

 

Mein Fazit aus der Geschichte:

Es kann keine stark negativ korrelierende Assets geben (oder wenn es sie gibt, dann nur so kurz dass man als Privatanleger eh keine Chance hat sie zu finden), die es in irgendeiner Kombination ermöglichen das Risiko zumindest mittel- bis langfristig auf ein Geldmarktniveau zu drücken und dabei diesen renditemäßig noch zu schlagen.

 

Wenn ich da so drüber nachdenke, sollte man als Konsequenz in der Praxis stark negativ korrellierende Assetes sogar meiden. Wie beim DAX/ShortDAX (der übrigens unter meinen Gesichtpunkt hier optimal konstruiert wurde) kosten solche Assets nur Gebühren und Mühen mit dem Rebalancing. Wenn mir das Risiko einer Assetklasse zu hoch ist, muss ich eben eine höhere Cashquote fahren um die Schwankungen zu verringen (hast Du ja selbst schon gesagt).

 

Sinn machen negative Korrelationen nur wenn ich ein spezielles Risiko eliminieren will, dass ich sonst nicht vermeiden kann. (Z.B. US-Aktien haben immer Währungs- und Kursrisiko. Möchte ich das Währungsrisiko nicht tragen, kaufe ich die Aktien eben nur mit geliehenen Dollar, nicht mit Eigenkapital)

 

Den Diversifikationseffekt im eigentlich Sinn kann ich imo nur mit schwach korrelierenden Assets erreichen. In dem Sinne sind Anleihen in der Praxis ja brauchbar.

 

Viele Grüße!

[etherial]

Ich möchte mal die kühne Behauptung aufstellen, dass es solche Komponenten zumindest in der Theorie gar nicht geben kann, sofern sie denn wirklich stark negativ korreliert sind.

 

Ganz richtig. Das sieht die Wissenschaft nicht anders.

 

So weit so gut. Aber es gibt ja nun noch den Geldmarkt und (frei nach Grummel: ), da der Rest der Welt auch nicht blöde ist, werden insbesondere Banken nun Geld zu Geldmarktkonditionen leihen und dafür ebenfalls das Aktien/Anleihen Portfolio kaufen. Die können dann nämlich fast risikofrei (wegen der starken negativen Korrelation) ohne Einsatz von Eigenkapital aufgrund der Überrendite einen beliebig hohen Gewinn erreichen.

 

Absolut richtig: Es gibt keine negative Korrelation. Es ist auch so, dass wirklich zuverlässige Anleihen (nach Kosten) eben nicht so deutlich besser sind als der Geldmarkt.

 

Wenn ich da so drüber nachdenke, sollte man als Konsequenz in der Praxis stark negativ korrellierende Assetes sogar meiden.

 

In der Praxis sind negative Korrelationen verbunden mit negativer Rendite. Und negative Rendite sollte man meiden.

 

Gäbe es eine negative Korrelation mit anständiger Rendite, so wird jeder, der sie nicht nutzt mit zusätzlichem Risiko und geringerer Rendite bestraft.

 

Den Diversifikationseffekt im eigentlich Sinn kann ich imo nur mit schwach korrelierenden Assets erreichen. In dem Sinne sind Anleihen in der Praxis ja brauchbar.

 

Wieder richtig: jede Korrelation < 1 erreicht eine Risiko-Reduktion. Je kleiner, desto besser.

 

Wichtig ist eben nur, dass man dabei die Rendite nicht außer Augen lässt. Und dabei nicht nur die historische Rendite betrachten (die ist nämlich z.B. bei Rohstoffen und Gold deutlich höher als gerechtfertigt).

[Grumel]

 

Für die Diskussion, auch vom Mathehasser.

 

PS: Meiner Ansicht wird die Standardabweichung des Depots sehr wohl kleiner wenn man Zeugs mit Korrelation unter +1 hinzufügt.

 

Standardabweichung ist nach meinem Auswendiglernen eine Abweichung vom Erwartungswert die mit x% Wahrscheinlichkeit nicht überschritten wird. Im schlechtest möglichen Fall kann das Depot natürlich immernoch, weit unter die Standardabweichung des schwankungsfreudigsten Assets Fallen.

 

Wenn wir hergehen würden und wüssten den maximal möglichen Fallprozentsatz der Assets und sie wären unkorreliert, dann wäre diese maximale Fallhöhe natürlich ein simples gewichtetes Mittel der einzelnen Assets, völlig egal ob die Korrelation 0 oder +1, nur negative würden helfen. Lediglich die Wahrscheinlichkeit eines Eintreten des Supergaus wäre geringer. Im konzept der Standardabweichung, müsste die sich aber mit unkorrelierten Assets deutlich veringern.

[sparfux]

das entspricht aber

- 100 zu 4,5 mittlerer Rendite und 2,5 StdAbw

OK, verstanden. Man muss die "Energie" normieren ... um mal in der Begriffswelt zu bleiben, in der ich mich mit sowas rumgeschalgen habe B)

[etherial]

PS: Meiner Ansicht wird die Standardabweichung des Depots sehr wohl kleiner wenn man Zeugs mit Korrelation unter +1 hinzufügt.

 

Deine Begründung hab ich zwar nicht 100%ig verstanden, aber deine Intuition ist ebenfalls ein Ergebnis der Portfolio-Theorie. Nur vollkorrelierte Werte bringen überhaupt keinen Diversifikationswert.

[sparfux]

Den Diversifikationseffekt im eigentlich Sinn kann ich imo nur mit schwach korrelierenden Assets erreichen. In dem Sinne sind Anleihen in der Praxis ja brauchbar.

OK, hier schiesse ich nochmal quer: Sind Anleihen wirklich zur Diversifikation brauchbar?

 

Wenn Aktien eine Vola von sagen wir 15% haben und Anleihen von 5% und man ein aktienlastiges Depot hat (sagen wir 80/20), könnte ich mir vorstellen, dass der Effekt kaum sichtbar ist.

[harryguenter]

Wenn Aktien eine Vola von sagen wir 15% haben und Anleihen von 5% und man ein aktienlastiges Depot hat (sagen wir 80/20), könnte ich mir vorstellen, dass der Effekt kaum sichtbar ist.

Es hat halt nur einen 1/5 Anteil am Depot - im Guten wie im Schlechten.

Aktien mit einer Volatilität von nur 15% - kann ich nicht glauben...

[fehdi]

0,

Wenn Aktien eine Vola von sagen wir 15% haben und Anleihen von 5% und man ein aktienlastiges Depot hat (sagen wir 80/20), könnte ich mir vorstellen, dass der Effekt kaum sichtbar ist.

 

Nach der Formel die steff123 oben gepostet hat, lässt sich die Frage schnell beantworten:

 

Volatilität = Standardabweichung = Wurzel(Varianz)

 

Die Varianz der Aktie liegt also bei 225%, die der Anleihe 25%, alles eingesetzt in die Formel ergibt für ein 80/20 Portfolio bei einer Korrelation Cor(Aktie, Anleihe) von geschätzt

 

Cor = 0 : Varianz des Portfolios 145, also Vola von etwa 12,04%. Im Vergleich zum reinen Aktienporfolio also ca. 1/5 weniger Risiko (wie überraschend)

 

Cor = 0,5: In diesem Fall ist die Kovarianz= Cov(Aktie,Anleihe) = Vola(Aktie)*Vola(Anleihe)*Korrelation = 25%*5%*0,5 = 62,5

Damit ist die Varianz des Portfolios nach der Formel oben 145 + 20 = 165, also eine Vola von etwa 12,84%

 

Cor = -0,5: analog ist die Kovarianz nun -62,5. Wir erhalten also eine Varianz von 145 - 20 = 125, und damit die Vola von 11,18%

 

Im Vergleich dazu eine 20% Cashquote und eine simple Anlage auf dem Geldmarkt(Vola trotz der jüngsten Verwerfungen wohl vernächlässigbar)

 

Cor = 0: Varianz = 144, also Vola von 12%

 

Also rechtfertigen die (statistischen Werte) hier eigentlich nicht ein Engament am Anleihenmarkt, zumindest wenn damit nach Gebühren und möglichen Opportunitätskosten (man verliert ja in gewisser weise Flexibiltät, wenn das Geld in Festverzinslichen angelegt ist) keine deutlich höhere Rendite verbunden ist. Bei anderen Vermögensaufteilung mag es schon wieder ganz anders aussehen, aber ein Investment am Anleihenmarkt zu den aktuellen Konditionen ist für mich persönlich erst einmal gestorben. Wenn die Renditen mal wieder auf 7% oder 8% steigen sollten, sieht die Einschätzung natürlich wieder anders aus.

 

So weit die Theorie und ich möchte hier noch einmal anmerken, dass wir hier nur am statistischen Risiko gearbeitet haben. Bei der Portfoliozusammenstellung müssen aber auf jeden Fall die realen und konkreten Risiken im Auge behalten werden. Wenn ich zum Beispiel Aktie und Anleihe von ein und dem selben Emittent kombiniere, habe ich real nicht wirklich diversifiziert, zumindest nicht im Hinblick auf des Emittentenrisiko.

 

Viele Grüße!

[Indexlaber]

Nach der Formel die steff123 oben gepostet hat, lässt sich die Frage schnell beantworten:

 

Volatilität = Standardabweichung = Wurzel(Varianz)

 

Die Varianz der Aktie liegt also bei 225%, die der Anleihe 25%, alles eingesetzt in die Formel ergibt für ein 80/20 Portfolio bei einer Korrelation Cor(Aktie, Anleihe) von geschätzt

 

Cor = 0 : Varianz des Portfolios 145, also Vola von etwa 12,04%. Im Vergleich zum reinen Aktienporfolio also ca. 1/5 weniger Risiko (wie überraschend)

 

Cor = 0,5: In diesem Fall ist die Kovarianz= Cov(Aktie,Anleihe) = Vola(Aktie)*Vola(Anleihe)*Korrelation = 25%*5%*0,5 = 62,5

Damit ist die Varianz des Portfolios nach der Formel oben 145 + 20 = 165, also eine Vola von etwa 12,84%

 

Cor = -0,5: analog ist die Kovarianz nun -62,5. Wir erhalten also eine Varianz von 145 - 20 = 125, und damit die Vola von 11,18%

 

Im Vergleich dazu eine 20% Cashquote und eine simple Anlage auf dem Geldmarkt(Vola trotz der jüngsten Verwerfungen wohl vernächlässigbar)

 

Cor = 0: Varianz = 144, also Vola von 12%

 

Also rechtfertigen die (statistischen Werte) hier eigentlich nicht ein Engament am Anleihenmarkt, zumindest wenn damit nach Gebühren und möglichen Opportunitätskosten (man verliert ja in gewisser weise Flexibiltät, wenn das Geld in Festverzinslichen angelegt ist) keine deutlich höhere Rendite verbunden ist. Bei anderen Vermögensaufteilung mag es schon wieder ganz anders aussehen, aber ein Investment am Anleihenmarkt zu den aktuellen Konditionen ist für mich persönlich erst einmal gestorben. Wenn die Renditen mal wieder auf 7% oder 8% steigen sollten, sieht die Einschätzung natürlich wieder anders aus.

 

So weit die Theorie und ich möchte hier noch einmal anmerken, dass wir hier nur am statistischen Risiko gearbeitet haben. Bei der Portfoliozusammenstellung müssen aber auf jeden Fall die realen und konkreten Risiken im Auge behalten werden. Wenn ich zum Beispiel Aktie und Anleihe von ein und dem selben Emittent kombiniere, habe ich real nicht wirklich diversifiziert, zumindest nicht im Hinblick auf des Emittentenrisiko.

 

Viele Grüße!

 

Vergisst Du dabei nicht die REnten ETF`s wie z. B. eb.Rexx Goverment, Lyxor ETF EuroMTS ?

[fehdi]

Vergisst Du dabei nicht die REnten ETF`s wie z. B. eb.Rexx Goverment, Lyxor ETF EuroMTS ?

 

Ok, was gibt es bei denen zu vergessen?

 

Natürlich haben die eine eindeutig gesündere Gebührenstruktur als normale Rentenfonds und sind auch täglich verfügbar, im Gegensatz zu einer direkten Anlage in Bundesschatzbriefe, aber wenn ich mich nicht arg täusche, liegt die durchschnittliche Rendite der enthaltenen Papiere auch nicht sehr weit über dem aktuellen Tagesgeldzinssatz der Norisbank. Immerhin habe ich dort keine Börsenhandelsgebühren und brauche nicht Zinserhöhungen fürchten. Zumindest am langen Ende sind höhere Renditen zur Zeit nicht besonders unwahrscheinlich.

 

Wir können aber gerne über offene Immofonds reden. Die sind ebenfalls wenig zum Aktienmarkt korreliert und haben zur Zeit eine Rendite von 5-6% p.a. Die erscheinen mir zum Zwecke der Optimierung des Risiko/Rendite Profils zur Zeit als die bessere Alternative. Ist aber natürlich meine persönliche Meinung.

 

Viele Grüße!

[Delphin]

OK, hier schiesse ich nochmal quer: Sind Anleihen wirklich zur Diversifikation brauchbar?

 

Wenn Aktien eine Vola von sagen wir 15% haben und Anleihen von 5% und man ein aktienlastiges Depot hat (sagen wir 80/20), könnte ich mir vorstellen, dass der Effekt kaum sichtbar ist.

Nun der Effekt ist sehr wohl sichtbar, Erwartungswert und Rendite reduzieren sich. Ob das gewünscht war, ist die Frage. Und ob es andere Anlagen gibt, die quasi effektiver diversifizieren würden.

 

Ich dachte ich ergänz den Thread mal um ein paar Bilder.

 

Also gehen wir einfach vom Markowitzmodell aus, nehmen einen Anlage A mit Erwartungswert 10% (Return) und Standardabweichung (Risk) 20% (das wären etwa Aktien, so ganz grob, die Zahlen entsprechen einer langjährigen geom. Durschnittsrendite von 8%). Dazu nehmen wir eine Anlage B mit 5% Erwartungswert und 6% Standardabweichung (könnten vielleicht Anleihen sein). Übrigens betrachtet Markowitz grundsätzlich nur ein Jahr, für längere Perioden gibt es entsprechende Erweiterungen, Stichwort Random Walk.

 

Bei einem solchen Mischportfolio ist der Erartungswert immer genau das gewichtete Mittel der beiden Teile, also bei 50/50 hätte man einen Erwartungswert von 7,5 %, bei 80/20 einen von 9%.

 

Interessant ist eher wie die Standardabweichung (Risk) des Gesamtportfolios aussieht, das hängt nun wiederum nicht von den Erwartungswerten ab, dafür aber von den beiden Standardabweichungen und der Korrelation ab.

 

Bei einer Korrelation von 0 ergäbe sich folgendes:

 

 

Die Punkte sind immer 10%-Schritte, ganz oben rechts wäre das 100/0-Protfolio, ganz unten dagegen das 0/100-Portfolio.

 

Das Portfolio mit dem geringsten Risiko (minimum Varianz Portfolio = MVP) ist gleich unten das mit 90% Anleihen. Was sich nun Markowitz gedacht hat ist: unter diesen Umständen ein reines Anleiheportfolio zu wählen wäre nicht sinnvoll, mit etwa 15% Aktien hätte man nämlich dasselbe Risiko aber einen höheren Erwartungswert. Er bezeichnet deswegen alle Portfolios "oberhalb" des MVP als effizient. Welches von diesen Portfolios man konkret wählt, hängt von der persönlichen Risikotoleranz ab, nur die unterhalb des MVP zu wählen wäre dumm.

 

Das ist eigentlich auch schon alles. Na ja, es ist eben überraschend, dass man u.U. ein Portfolio durch hinzumischen von einer riskanteren Anlage sicherer (oder lukrativer bei gleichen Risiko) machen kann. Wenn man so will ist es die 'Beule' nach links, die das ganze interessant macht.

 

Bei einer Korrelationvon 1 ist dea Diagramm linear, alle Depo-Aufteilungen machen also Sinn.

 

 

Bie einer Korrelation von -0,7 wird es spannend man kann hier ein Portfolio zusammenstellen, das erheblich sicherer ist als beide Teile für sich genommen (20/80). Aber auch ein 80/20-Portfolio wäre hier zumindest etwas sicherer als bei einer Korrelation 0 (siehe oben).

 

 

Nun war noch die Frage, wie sieht das aus, wenn ich nicht Anleihen allgemein nehme, sondern quasi Geldmarkt. Welche Standardabweichung man da veranschlagen kann, weiß ich nicht genau, aber bei 2% sieht es so aus:

 

 

Wie oben ja schon angedeutet wird die 'Beule nach links' umso eindrucksvoller, je größer die Standardabweichung wird, für 12% z.B. sieht es so aus:

 

 

Fazit: negative Korrelation und hohe Standardabweichung bringen am meisten, wenn man so will. Aber man sollte immer bedenken, dass es Markowitz darum ging, bestimmte Portfoliomischungen als inffizient zu disqualifizieren (bei drei Aktien z.B. kann es sinnvoll sein, eine überhaupt erst gar nicht mit rein zu nehmen), es bleiben immer noch viele effiziente Möglichkeiten über, unter denen man wählen kann.

[fehdi]

Klasse Bilder und ein interessanter Beitrag. Vielen Dank!

 

Fazit: negative Korrelation und hohe Standardabweichung bringen am meisten, wenn man so will. Aber man sollte immer bedenken, dass es Markowitz darum ging, bestimmte Portfoliomischungen als inffizient zu disqualifizieren (bei drei Aktien z.B. kann es sinnvoll sein, eine überhaupt erst gar nicht mit rein zu nehmen), es bleiben immer noch viele effiziente Möglichkeiten über, unter denen man wählen kann.

 

Was mich als Mathematiker grundsätzlich daran nur stört ist, dass quasi im typischen BWL Verfahren(*) jeweils nur Portfolios mit 2 Assets betrachtet wurden. Der erste Teil Deines Fazits ist nun konsistent mit den Bildern, aber muss nicht unbedingt auch gut die Realität bei einer Vielzahl von verfügbaren Assets wiedergeben/beschreiben.

 

Dazu:

 

zu (*) (etwas ot)

Warum hacken Mathematiker eigentlich ständig auf BWLern rum?

BWLer haben die Eigenart alle abstrakten Konzepte erst einmal an einem Beispiel mit richtigen Zahlen durchrechnen zu müssen, bzw. wie hier ein hochdimensionales Problem graphisch zu visualisieren (und dann natürlich Zwangsweise eine Menge Dimensionen zu verlieren). Grundsätzlich ist dagegen nichts einzuwendern, wenn es hilft das Verständnis zu fördern.

Problematisch wird es nur, wenn nun eine komplexe, reale Gesetzmäßigkeit belegt/"bewiesen" werden soll und der "Beweis" sich nun aber im Kern auf solche (meist unzulässigen) Vereinfachungen stützt. Ebenso sind Ceteris paribus Beweise meist zwar logisch korrekt, haben aber dann keine (bzw. eben nur eine bedingte) Aussagekraft für die Realität. Mathematiker rümpfen bei solchen Argumenten dann immer schnell die Nase und stufen den "Beweis" im besten Fall zu einer Heuristik oder einer Beobachtung ab, die der Realität immerhin nicht widerspricht (sich also nicht ad hoc falsifizieren lässt).

 

Den Wiwis muss man allerdings zu gute halten, dass die Wirtschaftsrealität nun einmal so komplex ist, dass es auch noch kein Mathematiker geschafft hat, ein praktikables Modell zu entwickeln, das ohne solche unzulässigen Vereinfachungen auskommt. Es ist immer noch besser, nur 2 dimensionale Beziehungen zu verstehen, als blind durch die Zukunft zu gehen.

 

Generell ist da aber ein deutlicher Kulturunterschied zwischen der formalen Welt der Mathematik und der lebenden Welt der WiWis und begründet auch warum ich mich in diesem Thread ursprünglich zu Wort gemeldet habe. (der Vorteil negativer Korrelationen widerspricht einfach meiner statistischen Intuition)

 

In dem Sinne möchte ich noch einmal sagen: Tendenziell negative Korrelationen zwischen Assets mögen wünschenswert sein, wenn ich auf dem Kurszettel nur genau 2 Assets vorfinde (das belegen die Bilder ja nun eindeutig). Für den Fall, dass ich aus einer großen Menge von Assets mehr als nur zwei wählen kann, bin ich aber wohl besser mit einer Vielzahl möglichst unkorrelierten Assets aufgehoben, zumindest nach der Heuristik, die wir hier gestern durchdiskutiert haben.

 

Viele Grüße!

[Delphin]

Was mich als Mathematiker grundsätzlich daran nur stört ist, dass quasi im typischen BWL Verfahren(*) jeweils nur Portfolios mit 2 Assets betrachtet wurden. Der erste Teil Deines Fazits ist nun konsistent mit den Bildern, aber muss nicht unbedingt auch gut die Realität bei einer Vielzahl von verfügbaren Assets wiedergeben/beschreiben.

Ja, war vielleicht nicht so geschickt, den Ausblick auf mehr als zwei Assets da noch zu erwähnen. (Markowitz hat sich damit natürlich beschäftigt, und mathematisch gesehen wird's da auch spannender.)

 

Man kann z.B. als dritte Klasse Immobilien dazunehmen, und gucken, ob es überhaupt was bringt, die mit einzubeziehen, aber wie auch schon bei zwei Anlageklassen kommt es sehr auf die gewählten Erwartungswerte und Standardabweichungen an. Da wir diese leider nicht genau genug schätzen können, und das Modell sehr empfindlich auf diese Eingangsgrößen reagiert, haben die Ergebnisse relativ wenig praktischen Nutzen. Gerade deswegen finde ich ein paar Bilder nützlich, um sich die Zusammenhänge klar zu machen, aber würde für mein eigenes Portfolio nicht unbedingt zum Taschenrechner greifen (mit welchen Werten auch?).

 

In dem Sinne möchte ich noch einmal sagen: Tendenziell negative Korrelationen zwischen Assets mögen wünschenswert sein, wenn ich auf dem Kurszettel nur genau 2 Assets vorfinde (das belegen die Bilder ja nun eindeutig). Für den Fall, dass ich aus einer großen Menge von Assets mehr als nur zwei wählen kann, bin ich aber wohl besser mit einer Vielzahl möglichst unkorrelierten Assets aufgehoben

Ich habe gerade Schwierigkeiten mir mehr als zwei Assets vorzustellen, von denen mehr als zwei zueinander negativ korreliert sind... Aber du als Mathematiker kannst dir doch den Markowitz-Aufsatz besorgen und das mal durchrechnen... Oder benutz den Online-Rechner:

 

Portfolio Calculator

[etherial]

In dem Sinne möchte ich noch einmal sagen: Tendenziell negative Korrelationen zwischen Assets mögen wünschenswert sein, wenn ich auf dem Kurszettel nur genau 2 Assets vorfinde (das belegen die Bilder ja nun eindeutig). Für den Fall, dass ich aus einer großen Menge von Assets mehr als nur zwei wählen kann, bin ich aber wohl besser mit einer Vielzahl möglichst unkorrelierten Assets aufgehoben, zumindest nach der Heuristik, die wir hier gestern durchdiskutiert haben.

 

Du bist doch Mathematiker ... da sollte dir was auffallen. Habe ich drei Assets A, B, C, Rendite(A) > Rendite(B) > Rendite( C ), gleiche Varianzen:

 

Weiterhin: Korr(A,B) = -1, Korr(A,C) = -1

 

Dann folgt automatisch Korr(B,C) = 1

 

Dann folgt Risiko(A+B) = Risiko(A+C)

und Rendite(A+B) > Rendite(A+C)

 

Ein risikoscheuer Anleger wählt also A und B und investiert überhaupt nicht in C.

 

Bei Korr(A,B) = 0, Korr(A,C) = 0, Korr(B,C) = 0 ist ein gewichteter Mix aus allen dreien sinnvoll. Dann gilt:

 

Rendite(A+C) < Rendite(A+B+C) < Rendite(A+B)

Risiko(A+C) = Risiko(A+B) < Risiko(A+B+C)

[fehdi]

Du bist doch Mathematiker ... da sollte dir was auffallen. Habe ich drei Assets A, B, C, Rendite(A) > Rendite(B) > Rendite( C ), gleiche Varianzen:

 

Weiterhin: Korr(A,B) = -1, Korr(A,C) = -1

 

Dann folgt automatisch Korr(B,C) = 1

 

Dann folgt Risiko(A+B) = Risiko(A+C)

und Rendite(A+B) > Rendite(A+C)

 

Ein risikoscheuer Anleger wählt also A und B und investiert überhaupt nicht in C.

 

Sorry, aber der Beitrag bringt mich nicht wirklich weiter und zwar aus mehreren Gründen:

 

1. wir hatten doch schon festgestellt, dass es in der Praxis keine zwei Assetklassen, die die Korrelation -1 zueinander haben, geben kann, wenn man erwartet, dass diese beiden in irgendeiner Kombination den Geldmarkt outperformen (bzw. ein anteiliges Portfolio mit dem übergewichteten Asset und einer entsprechend hohen Cashquote). Sonst erhalten wir ja sofort wieder eine Arbitragemöglichkeit.

 

2. Ist Dein erstes Beispiel trivial, weil C offensichtlich gleich Asset B ist (zumindest statistisch gesehen), nur mit irgendeinem Rendite mindernde Effekt (z.B höhere Gebühren). Klar nimmt da jeder Investor B.

Das hängt aber einzig und allein mit Cor(B,C) = 1 zusammen und überhaupt nicht mit der negativen Korrelation zu A.

 

3. Sind drei Assets genauso gut wie zwei: Einfach unrealistisch. Will ich den Diversifikationseffekt wirklich mit Hilfe der Theorie voll ausreizen, dann muss ich schon mit tausenden von Assets rechnen.

 

Das ist zumindest auch das, was wir hier alle in der Realität tun. Wir kaufen ja nicht eine aussichtsreiche Aktie und eine Anleihe, sondern wir versuchen die Performance und die Korrelationseigentschaft einer "typischen" Aktie durch ein möglichst breites Aktienportfolio zu erreichen, genauso wie man sich nicht eine High Yield Anleihe aussucht, sondern einen entsprechenden Fonds ins Depot legt.

 

Das traurige ist nun, dass wir das alle mehr oder weniger planlos tun. Statt ein unter Risiko/Rendite Gesichtspunkt optimales Gesamtportfolio zusammenzustellen, kaufen wir innerhalb einer Klasse je nach persönlicher Vorliebe und Strategie eben einen marktbreites, oder ein Value/Growth Portfolio, versuchen zyklisch oder antizyklisch vorzugehen, gewichten Small Caps höher als es nach MCap eigentlich sein sollte oder berücksichtigen sie gar nicht...

 

Nehmen wir mal an, dass unser Aktienportfolio allein betrachtet gut diversifiziert ist. Dann heißt das aber nicht, dass die Aktien nun mit einem ebenfalls isoliert zusammengestellten Anleihenportflio unter Rendite/Risko Gesichtspunkten in Kombination gut harmonieren. (Das ist übrigens ein wichtiger Kritikpunkt an Dachfonds, da die jeweils enthalten Fonds nicht im Hinblick auf den Dachfonds ein risikooptimiertes Portfolio halten)

 

Was bringt mir z.B. eine Aufteilung 30% Immobilien, 30% Anleihen, 10% Rohstoffe und 30% Aktien, wenn ich hauptsächlich Anleihen und Aktien der Mieter meiner Immos besitze und deren Hauptgeschäft darin besteht, die Rohstoffe zu fördern und zu verkaufen, die ich bereits selbst im Portfolio habe? Irgendwie entsteht dort erst durch die Aufteilung auf mehrere Assets ein Klumpenrisiko und ein 50% Aktienportfolio mit 50% Cash hätte in dem Fall vielleicht bei gleichem Risiko eine höhere Rendite abgeworfen.

 

Man kann z.B. als dritte Klasse Immobilien dazunehmen, und gucken, ob es überhaupt was bringt, die mit einzubeziehen, aber wie auch schon bei zwei Anlageklassen kommt es sehr auf die gewählten Erwartungswerte und Standardabweichungen an. Da wir diese leider nicht genau genug schätzen können, und das Modell sehr empfindlich auf diese Eingangsgrößen reagiert, haben die Ergebnisse relativ wenig praktischen Nutzen.

 

Das ist nun genau der entscheidene Punkt den ich aus Sicht eines Anlegers auch sehe. Korrelationen sind keine Naturkonstanten und ändern sich fließend. Ich kann die ganze Theorie in die Tonne treten, wenn ich die Korrelationen und zukünftige Renditen nicht zuverlässig schätzen kann. Letztlich ist dies aber der Grund, warum es in der Praxis nicht "DAS optimale Portfolio" für einen Anleger geben kann. Daher ist der Ansatz, zuerst nach Risikoempfinden in Aktien- und Anleihenanteil aufzuspalten, und dann dort weiter zu diversifizieren sicherlich besser als vollkommen planlos zu agieren.

 

Die Überlegungen bringen mich aber nicht weiter, warum hier plötzlich wieder negative Korrelationen gepriesen werden. Ich dachte darüber waren wir schon hinaus? Nicht falsch verstehen: Gegen schwache negative Korrelationen habe ich ja nichts. Die sind zur Diversifikation genauso willkommen wie schwach positive, aber etwas in den Dreh von -0,8 scheint mir schon wieder mehr in Richtung Dax/ShortEuroStoxx zu gehen und im Vergleich zu einer höheren Cashquote einfach nur mehr Gebühren zu kosten.

 

Ich habe gerade Schwierigkeiten mir mehr als zwei Assets vorzustellen, von denen mehr als zwei zueinander negativ korreliert sind... Aber du als Mathematiker kannst dir doch den Markowitz-Aufsatz besorgen und das mal durchrechnen... Oder benutz den Online-Rechner:

P.S. Danke für den Link. Den kannte ich auch noch nicht.

 

Ansonsten zu Korrelationen: Du weißt sicherlich, dass sowohl der Ölpreis, als auch der Goldpreis negativ korreliert ist zum Dollarkurs. Dies sagt nun aber noch nicht viel darüber aus, ob Gold und Öl nun entweder stark positiv stark zueinander korrelieren (wie vielleicht zwei verschiedene Ölsorten) oder nur schwach positiv korrelieren. Nur das Vorzeichen ist durch den gemeinsamen Bezug zum Dollarkurs festgelegt (dies hängt letzten Endes aber auch von der Stärke der Korrelation zwischen den Rohstoffen und Dollar ab).

[Delphin]

Ich sehe bei deiner Antwort immer noch zwei Probleme:

 

1. Du scheinst die Portfoliotheorie immer noch ein bisschen zu überschätzen, Markowitz hat das Verhalten von zwei oder mehr Aktien untersucht unter der Vorgabe, dass Erwartungswert, Standardabweichung und Korrelation bekannt sind (und dass genau ein Jahr betrachtet wird, und dass die diskrete Renditen normalverteilt sind). - Nicht mehr und nicht weniger!

 

2. Wir haben noch nicht festgelegt, was wir eigentlich unter dem Diversifikationseffekt verstehen. Ich habe das auch ignoriert und nur darüber geschrieben, wie man durch Hinzunahme einer zweiten Anlage das Risiko (und die erwartete Rendite) senken kann. Das ist aber eigentlich was anderes.

 

Diversifikation heißt Aufteilung, Vertreuung. Warum das gut ist, ist intuitiv klar - man hat eben nicht alles auf eine Karte gesetzt.

 

Aber welchen Effekt du dir da erhoffst, ist mir nicht ganz klar.

[fehdi]

Ich sehe bei deiner Antwort immer noch zwei Probleme:

 

1. Du scheinst die Portfoliotheorie immer noch ein bisschen zu überschätzen, Markowitz hat das Verhalten von zwei oder mehr Aktien untersucht unter der Vorgabe, dass Erwartungswert, Standardabweichung und Korrelation bekannt sind (und dass genau ein Jahr betrachtet wird, und dass die diskrete Renditen normalverteilt sind). - Nicht mehr und nicht weniger!

 

2. Wir haben noch nicht festgelegt, was wir eigentlich unter dem Diversifikationseffekt verstehen. Ich habe das auch ignoriert und nur darüber geschrieben, wie man durch Hinzunahme einer zweiten Anlage das Risiko (und die erwartete Rendite) senken kann. Das ist aber eigentlich was anderes.

 

Diversifikation heißt Aufteilung, Vertreuung. Warum das gut ist, ist intuitiv klar - man hat eben nicht alles auf eine Karte gesetzt.

 

Aber welchen Effekt du dir da erhoffst, ist mir nicht ganz klar.

 

Ja, Du hast recht. Was genau der "Diversifikationseffekt" ist, haben wir hier nicht definiert. Mir fällt es auch schwer, dass nun irgendwie ad hoc in der Sprache der Portfoliotheorie zu tun. Ich bitte um Entschuldigung, aber ich muss noch einmal einen Bogen zu meinem ersten Posting schlagen und versuchen, es mit dem Gesetz der großen Zahlen zu verdeutlichen.

 

Nehmen wir einmal an, wir betrachten eine große Menge von Zufallsvariablen (eben zum Beispiel eine große Menge Würfel, oder eben auch Aktienkurse). Nehmen wir desweiteren an diese wäre unkorreliert (ok Aktienkurse fallen nun raus, aber die Würfel bleiben drin). Jede dieser Zufallsvarible habe einen endlichen Erwartungswert (bei Würfeln ist das natürlich so, und auch bei Aktien erwarten wir nur eine endlich große Rendite über ein endliches Zeitintervall betrachtet). Außerdem seien alle Varianzen/Standardabweichungen gleichmäßig beschränkt (auf Würfel trifft dies natürlich zu, bei Aktien wurde aber auch noch nichts anderes beobachtet). Nun sagt das schwache Gesetz der großen Zahlen, dass das arithmetische Mittel der Zufallsvariablen mit großer Wahrscheinlichkeit in der Nähe des arithmetischen Mittel der Erwartungswerte liegt.

 

Dieses "mit großer Wahrscheinlichkeit" klingt nun salopp, dahinter verbirgt sich aber eine präzise mathematische Abschätzung. Sofern ich alle Parameter wirklich kenne, kann ich Dir eine gute Abschätzung ausrechnen, wie hoch z.B. die Wahrscheinlichkeit ist, dass bei 100 oder 1000 Würfeln das arithemetische Mittel der gewürfelten Augen von 3,5 um mehr als 0,1 abweicht. Diese WKeit ist meist überraschend verschwindend gering.

 

Diesen Mechanismus (je größer die Anzahl der unkorrelierten Zufallsvariablen, desto kleiner ist die Abweichungswahrscheinlichkeit) nenne ich jetzt mal den "Effekt des Gesetzes der großen Zahlen".

 

Und um nun auf die Portfoliotheorie zurückzukommen, verstehe ich unter dem "Diversifikationseffekt" nun eben das analog zum "Effekt des Gesetzes der großen Zahlen", eben eine (in der Praxis natürlich nie wirklich berechenbare) Wahrscheinlichkeit, dass die tatsächliche Rendite meines Portfolios, meinetwegen über viele Zeitreihen hinweg betrachtet, von der erwarteten Rendite nur um einen bestimmten Betrag abweicht. Diese wird natürlich im Vergleich zu den Würfeln ungleich höher sein, weil Aktien/Assets eben nicht unkorreliert sind. Aber je geringer die Korrelationen sind, umso mehr müsste die Logik des Gesetzes der großen Zahlen greifen.

 

Und in der Gefahr mich zu wiederholen: Wie gut das jetzt funktioniert und in der Praxis umsetzbar ist, ist mir jetzt erst einmal egal. Mir geht es jetzt nur darum, dass der prinzipielle Mechanismus der Portfoliotheorie nach Markowitz "so ähnlich" funktioniert wie das schwache Gesetz der großen Zahlen (in der Portfoliotheorie bin ich aber auch Laie, ist eben nur meine Intuition als jemand mit einer statistischen Ausbildung). D.h. je mehr Assets ich habe und je weniger diese untereinander korrelieren, desto höher ist die Wahrscheinlichkeit, dass die tatsächliche Rendite "in der Nähe" der erwarteten liegt.

 

Negative Korrelationen kann ich also nur zum Hedgen von speziellen Risiken verwenden, was natürlich die Schwankungsbreite meines Portfolios ebenfalls senkt, aber nicht mein Rendite/Risiko Profil verbessert/optimiert. Wie bei DAX/ShortDax kann ich nur noch maximal eine Geldmarktrendite für den Teil des Portfolios erwarten, der gegeneinander läuft. Also hätte ich es auch gleich in Tagesgeld anlegen können.

(oder in Deinen Worten: Ich kann bei der Suche nach einem effizienten Portfolio zugunsten des Geldmarkts auf Assets verzichten, die zu einem anderen Teil in meinem Portfolio stark negativ korrelieren)

 

Wenn man in der Wikepdia unter Korrelation nachguckt, steht dort übrigens etwas ähnliches. Wenn ich die Zeit finde, werde ich mir aber die Portfoliotheorie von Markowitz in einer Mathematiker-Version anschauen, um in diesem Punkt Gewissheit zu erlangen.

[etherial]

Hallo fehdi,

 

das schwache Gesetz der großen Zahlen (SGGZ) ist nicht so ähnlich wie die Portfolio-Theorie (MPT).

 

SGGZ sagt:

n Zufallzahlen mit Korr=0 und gleichem Erwartungswert => Durschnitt konvergiert gegen Erwartungswert.

 

MPT sagt:

Gegeben: Erwartungswert, StABw, Korr => Gewichtung

 

Die Porfoliotheorie ist übrigens ein abgeschlossener mathematischer Beweis. Theorie heißt die nur, weil die Grundannahmen mathematischer Natur sind und leider nicht ganz mit der Welt in Einklang stehen. So nimmt die Portfoliotheorie eben an, dass alle Assets (log)normalverteilte Kurswerte haben, was in der Realität nicht unbedingt so ist.

 

Das negative Korrelationen in der Praxis an negative Renditen gebunden sind, ist nicht ein Problem der Portfoliotheorie, sondern der Realität. Das stört die Portfoliotheorie überhaupt nicht. Die gibt dir für n definierte Assets (mit Erwartungswert, StdAbw, Korr) immer die optimalen Gewichtungen.

 

Die MPT begünstigt im 2-Anlagen-Fall bei gleicher Rendite möglichst niedrige Korrelationen. Wobei hier nicht gemeint ist, dass der Betrag niedrig ist, sondern der Wert: -1 ist besser als 0.

 

Bei unterschiedlicher Rendite (z.B. DAX + ShortDAX) begünstigt die MPT nicht niedrige Korrelationen, sondern zeichnet dir eben eine Effizienzkurve auf der alle optimalen Portfolios liegen.

 

Im n-Anlagen-Fall ergeben sich mehr Möglichkeiten. Es ist aber auf jeden Fall keine gute Heurisik auf Korr=0 zu setzen.

 

Die deutsche Wikipedia hat leider eine sehr erbärmliche Seite über die MPT, die englische Seite ist deutlich mathematischer, aber in meinen Büchern stets noch deutlich besser drin, als in Wikipedia. Ich empfehle dir wirklich die Lektüre, denn das "schwache Gesetz der großen Zahlen" ist vollkommen nichtssagend für das konkrete Problem, was die Portfoliotheorie löst.

[harwin]

Ja, Du hast recht. Was genau der "Diversifikationseffekt" ist, haben wir hier nicht definiert. Mir fällt es auch schwer, dass nun irgendwie ad hoc in der Sprache der Portfoliotheorie zu tun. Ich bitte um Entschuldigung, aber ich muss noch einmal einen Bogen zu meinem ersten Posting schlagen und versuchen, es mit dem Gesetz der großen Zahlen zu verdeutlichen.

 

Nehmen wir einmal an, wir betrachten eine große Menge von Zufallsvariablen (eben zum Beispiel eine große Menge Würfel, oder eben auch Aktienkurse). Nehmen wir desweiteren an diese wäre unkorreliert (ok Aktienkurse fallen nun raus, aber die Würfel bleiben drin). Jede dieser Zufallsvarible habe einen endlichen Erwartungswert (bei Würfeln ist das natürlich so, und auch bei Aktien erwarten wir nur eine endlich große Rendite über ein endliches Zeitintervall betrachtet). Außerdem seien alle Varianzen/Standardabweichungen gleichmäßig beschränkt (auf Würfel trifft dies natürlich zu, bei Aktien wurde aber auch noch nichts anderes beobachtet). Nun sagt das schwache Gesetz der großen Zahlen, dass das arithmetische Mittel der Zufallsvariablen mit großer Wahrscheinlichkeit in der Nähe des arithmetischen Mittel der Erwartungswerte liegt.

 

Dieses "mit großer Wahrscheinlichkeit" klingt nun salopp, dahinter verbirgt sich aber eine präzise mathematische Abschätzung. Sofern ich alle Parameter wirklich kenne, kann ich Dir eine gute Abschätzung ausrechnen, wie hoch z.B. die Wahrscheinlichkeit ist, dass bei 100 oder 1000 Würfeln das arithemetische Mittel der gewürfelten Augen von 3,5 um mehr als 0,1 abweicht. Diese WKeit ist meist überraschend verschwindend gering.

 

Diesen Mechanismus (je größer die Anzahl der unkorrelierten Zufallsvariablen, desto kleiner ist die Abweichungswahrscheinlichkeit) nenne ich jetzt mal den "Effekt des Gesetzes der großen Zahlen".

 

Und um nun auf die Portfoliotheorie zurückzukommen, verstehe ich unter dem "Diversifikationseffekt" nun eben das analog zum "Effekt des Gesetzes der großen Zahlen", eben eine (in der Praxis natürlich nie wirklich berechenbare) Wahrscheinlichkeit, dass die tatsächliche Rendite meines Portfolios, meinetwegen über viele Zeitreihen hinweg betrachtet, von der erwarteten Rendite nur um einen bestimmten Betrag abweicht. Diese wird natürlich im Vergleich zu den Würfeln ungleich höher sein, weil Aktien/Assets eben nicht unkorreliert sind. Aber je geringer die Korrelationen sind, umso mehr müsste die Logik des Gesetzes der großen Zahlen greifen.

 

Und in der Gefahr mich zu wiederholen: Wie gut das jetzt funktioniert und in der Praxis umsetzbar ist, ist mir jetzt erst einmal egal. Mir geht es jetzt nur darum, dass der prinzipielle Mechanismus der Portfoliotheorie nach Markowitz "so ähnlich" funktioniert wie das schwache Gesetz der großen Zahlen (in der Portfoliotheorie bin ich aber auch Laie, ist eben nur meine Intuition als jemand mit einer statistischen Ausbildung). D.h. je mehr Assets ich habe und je weniger diese untereinander korrelieren, desto höher ist die Wahrscheinlichkeit, dass die tatsächliche Rendite "in der Nähe" der erwarteten liegt.

 

Negative Korrelationen kann ich also nur zum Hedgen von speziellen Risiken verwenden, was natürlich die Schwankungsbreite meines Portfolios ebenfalls senkt, aber nicht mein Rendite/Risiko Profil verbessert/optimiert. Wie bei DAX/ShortDax kann ich nur noch maximal eine Geldmarktrendite für den Teil des Portfolios erwarten, der gegeneinander läuft. Also hätte ich es auch gleich in Tagesgeld anlegen können.

(oder in Deinen Worten: Ich kann bei der Suche nach einem effizienten Portfolio zugunsten des Geldmarkts auf Assets verzichten, die zu einem anderen Teil in meinem Portfolio stark negativ korrelieren)

 

Wenn man in der Wikepdia unter Korrelation nachguckt, steht dort übrigens etwas ähnliches. Wenn ich die Zeit finde, werde ich mir aber die Portfoliotheorie von Markowitz in einer Mathematiker-Version anschauen, um in diesem Punkt Gewissheit zu erlangen.

 

 

Klingt ja echt sehr interessant.

Meine Frage als nicht Mathematiker, wie kann ich an solche Berechnungen meines Portfolios herangehen?

Gibt es soetwas wie eine Schritt für Schritt Anleitung für Laien? Oder eine Buchempfehlung?

 

Welche Werte nimmst Du? Kann man es mit Excel berechnen z. B. Standardabweichung, Korrelation etc.

 

Oder benötigt man ein ausgefeiltes Programm?